每日一题[1510]增量换元

实数 $a,b,c$ 满足 $a^2+b^2+c^2=\lambda$($\lambda>0$),求\[f=\min\big\{(a-b)^2,(b-c)^2,(c-a)^2\big\}\]的最大值.

答案       $\dfrac{\lambda}2$.

解析       不妨设 $a\leqslant b\leqslant c$,令 $b=a+s$,$c=a+s+t$,其中 $s,t>0$,则\[a^2+(a+s)^2+(a+s+t)^2=\lambda,\]即\[3a^2+(4s+2t)a+2s^2+2st+t^2-\lambda=0,\]由判别式可得\[\Delta=(4s+2t)^2-4\cdot 3\cdot (2s^2+2st+t^2-\lambda)\geqslant 0,\]即\[s^2+st+t^2\leqslant \dfrac 32\lambda,\]于是\[f=\min\{s^2,t^2\}\leqslant \dfrac{s^2+st+t^2}3\leqslant \dfrac{\lambda}2,\]等号当 $s=t=\sqrt{\dfrac{\lambda}{2}}$,也即\[(a,b,c)=\left(-\sqrt{\dfrac{\lambda}2},0,\sqrt{\dfrac{\lambda}2}\right)\]时取得,因此所求最大值为 $\dfrac{\lambda}2$.

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