每日一题[1516]反向柯西不等式

设 $x,y\in\mathbb R$,且 ${\log_4}(x+2y)+{\log_4}(x-2y)=1$,则 $x-|y|$ 的最小值是(       )

A.$\sqrt3$

B.$2$

C.$2\sqrt3$

D.$4$

答案       A.

解析       题中条件即\[\begin{cases} x+2y>0,\\ x-2y>0,\\ x^2-4y^2=4,\end{cases}\iff x=2\sqrt{1+y^2},\]因此\[x-|y|=2\sqrt{1+y^2}-\sqrt{y^2}\geqslant \sqrt{2^2-1^2}=\sqrt 3,\]等号当 $y^2=\dfrac 13$ 时取得,因此所求最小值为 $\sqrt 3$.

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