如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为 $1$，正六边形的顶点称为“晶格点”．若 $A,B,C,D$ 四点均位于图中的“晶格点”处，且 $A,B$ 的位置如图所示，则 $\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {CD}$ 的最大值为_______．
已知平面向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 的模分别为 $2,\sqrt 3,1$，且 $\left(\overrightarrow a-\overrightarrow c\right)\cdot \left(\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)=5$，则 $\overrightarrow a-\overrightarrow b$ 与 $\overrightarrow a+\overrightarrow b$ 的夹角的余弦的最小值等于_______．
已知 $0<x<y<z<\dfrac {\pi}2$，求证：$\dfrac{\pi}2+2\sin x\cos y+2\sin y\cos z>\sin 2x+\sin 2y+\sin 2z$．
设 $\varphi(a,b)=\sqrt{(a-b)^2+\left(\ln a-\dfrac{b^2}4\right)^2}+\dfrac {b^2}4$，则 $\varphi(a,b)$ 的最小值为（ ）
A．$\sqrt 2-1$
B．$2-\sqrt 2$
C．$\dfrac{\sqrt 2}2$
D．$1$
已知 $a>0$，$b>0$，$m>0$，不等式 $\sqrt{\dfrac{a^2}{a^2+b^2}}+m\sqrt{\dfrac b{a+b}}\leqslant \dfrac{5\sqrt 2}2$ 恒成立，则 $m$ 的最大值为_______．
设 $P,Q$ 是双曲线 $x^2-y^2=4\sqrt 2$ 上关于原点 $O$ 对称的两点，将坐标平面沿双曲线的一条渐近线 $l$ 折成直二面角，则折叠后线段 $PQ$ 长度的最小值为_______．
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $C:(x-2)^2+(y-2)^2=20$ 与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点（$A$ 点在 $B$ 点的左侧），圆 $C$ 的弦 $MN$ 过点 $T(3,4)$，分别过 $M,N$ 作圆 $C$ 的切线，交点为 $P$，则线段 $AP$ 的最小值为_______．
已知函数 $f(x)=\dfrac{{\rm e}^x}{x}-4$，$g(x)=a-\dfrac{4ax}{{\rm e}^x}$，若方程 $f(x)=g(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上有两个实数解，则实数 $a$ 的取值范围是（ ）
A．$[0,{\rm e})$
B．$(0,{\rm e}]\cup\{4\}$
C．$({\rm e},+\infty)$
D．$(-\infty,{\rm e})\cup\{4\}$
已知函数 $f(x)=\dfrac a2x^2-x(\ln x-b-1)$（$a,b\in\mathbb R$）．
1、当 $b=-1$ 时，讨论函数 $f(x)$ 的零点个数．
2、若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，求 $2a+b$ 的最小值．
已知函数 $f(x)=\begin{cases} \dfrac{{\rm e}x}{{\rm e}^x},&x\leqslant 2,\\ \dfrac{4x-8}{5x},&x>2,\end{cases}$ 若关于 $x$ 的方程 $f^2(x)-3a|f(x)|+2a^2=0$ 恰有 $5$ 个实数解，则实数 $a$ 的取值范围是_______．
