每日一题[1899]等比放缩

已知正项数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=4$,$\ln a_{n+1}=\dfrac 1na_n^2-a_n+3$($n\in\mathbb N^{\ast}$).

1、求证:$a_n\geqslant 4n$.

2、求证:$\dfrac 16\leqslant \dfrac{1}{2+a_1}+\dfrac{1}{2+a_2}+\cdots+\dfrac{1}{2+a_n}\leqslant \dfrac 14$.

解析

1、原题可以用数学归纳法证明,事实上可以利用数学归纳法证明一个更强的结论 $a_n\geqslant 4n^2$,当 $n=1$ 时命题显然成立.假设当 $n=k$ 时命题成立,则当 $n=k+1$ 时,注意到右侧关于 $a_n$ 的二次函数对称轴位置,有\[\ln a_{k+1}\geqslant\dfrac 1k\cdot (4k^2)^2-4k^2+3=16k^3-4k^2+3,\]因此\[a_{k+1}\geqslant {\rm e}^{16k^3-4k^2+3}>1+(16k^3-4k^2+3)=16k^3-4k^2+4,\]而\[16k^3-4k^2+4\geqslant 4(k+1)^2\Longleftarrow 2k^2\geqslant k+1,\]因此命题得证.

2、一方面,有\[\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2+a_k}\geqslant \dfrac{1}{2+a_1}\geqslant \dfrac 16,\]因此左边不等式得证. 另一方面,有\[a_{n+1}>1+\ln a_{n+1}\geqslant \dfrac 1n\cdot 4n\cdot a_n-a_n+4=3a_n+4,\]因此\[\dfrac{2+a_{n}}{2+a_{n+1}}<\dfrac 13,\]从而\[\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2+a_k}\leqslant \dfrac{\dfrac{1}{2+a_1}}{1-\dfrac 13}=\dfrac 14,\]命题得证.

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