给定正整数 $n\geqslant 3$．求最大的实数 $M$，使得\[\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{a_k}{a_k+a_{k+1}}\right)^2\geqslant M\]对于任意正实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 恒成立，其中 $a_{n+1}=a_1$．
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每日一题[2085]极坐标表示
在平面直角坐标系中，点 $A,B,C$ 在双曲线 $xy=1$ 上，满足 $\triangle ABC$ 为等腰直角三角形．求 $\triangle ABC$ 的面积的最小值．
每日一题[2084]齐次
给定正实数 $0<a<b$，设 $x_1,x_2,x_3,x_4\in [a,b]$，试求 $\dfrac{\dfrac{x_1^2}{x_2}+\dfrac{x_2^2}{x_3}+\dfrac{x_3^2}{x_4}+\dfrac{x_4^2}{x_1}}{x_1+x_2+x_3+x_4}$ 的最小值与最大值．
每日一题[2083]上界估计
设 $a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是正整数，且 $a_0>a_1>a_2>\cdots>a_n>1$，并满足\[\left(1-\dfrac 1{a_1}\right)+\left(1-\dfrac{1}{a_2}\right)+\cdots+\left(1-\dfrac{1}{a_n}\right)=2\left(1-\dfrac{1}{a_0}\right),\]试求出 $(a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 的所有可能的解．
每日一题[2082]线段投射
设 $F$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}3+y^2=1$ 的左焦点，过点 $F$ 且斜率为正的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $A,B$ 两点，过点 $A,B$ 分别作直线 $AM$ 和 $BN$ 满足 $AM\perp l$，$BN\perp l$，且直线 $AM,BN$ 分别与 $x$ 轴相交于点 $M$ 和 $N$，试求 $|MN|$ 的最小值．
每日一题[2081]容斥原理
一个 $150\times 324\times 375$ 的长方体由 $1\times 1\times 1$ 的单位立方体胶合在一起而做成的，则这长方体的一条内对角线穿过_______个单位立方体的内部．
每日一题[2080]半角公式
设 $\dfrac{1+\sin x}{\cos x}=\dfrac {22}7$ 且 $\dfrac{1+\cos x}{\sin x}=\dfrac mn$，其中 $\dfrac mn$ 为最简分数，则 $m+n=$ _______．．
每日一题[2079]距离坐标
直线 $l_1,l_2$ 交于 $O$ 点，$M$ 为平面上一点，若 $p,q$ 分别为 $M$ 点到直线 $l_1,l_2$ 的距离，则称 $(p,q)$ 为点 $M$ 的距离坐标．已知非负常数 $p,q$，下列命题中确的有（ ）
A．若 $p=q=0$，则距离坐标为 $(p,q)$ 的点有且仅有 $1$ 个
B．若 $pq=0$，且 $p+q\ne 0$，则距离坐标为 $(p,q)$ 的点有且仅有 $1$ 个
C．若 $pq\ne 0$，则距离坐标为 $(p,q)$ 的点有且仅有 $4$ 个
D．以上答案都不正确
每日一题[2078]多项式展开
展开式 $\left(x^2+\dfrac 1x+y^3+\dfrac 1y\right)^{10}$ 中的常数项为_______．
每日一题[2077]多线共点
平面上给定 $5$ 个点，任意三点不共线，过任意两点作直线．已知任意两条直线既不平行也不垂直，过 $5$ 点中任意一点向另外四点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的 $5$ 点）个数至多有_______个．