每日一题[1897]零点判断

已知函数 $f(x)$ 为反比例函数,曲线 $g(x)=f(x)\cdot \cos x+b$ 在 $x=\dfrac{\pi}2$ 处的切线方程为 $y=-\dfrac{6}{\pi}x+2$.

1、求 $g(x)$ 的解析式.

2、判断函数 $F(x)=g(x)+1-\dfrac{3}{2\pi}$ 在区间 $(0,2\pi]$ 内的零点的个数,并证明.

解析

1、设 $f(x)=\dfrac{a}{x}$,则有\[g'(x)=\dfrac{-ax\sin x-a\cos x}{x^2},\]于是由 $g'\left(\dfrac{\pi}2\right)=-\dfrac{6}{\pi}$,$g\left(\dfrac{\pi}2\right)=-1$,可得 $a=3$,$b=-1$.因此 $g(x)=\dfrac{3\cos x}x-1$.

2、即方程 $\dfrac{\cos x}{x}-\dfrac{1}{2\pi }=0$ 在 $(0,2\pi]$ 内的零点个数,设函数为 $h(x)$. 当 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 时,$h(x)$ 单调递减,考虑到当 $x=\min\left\{\dfrac{\pi}3,\dfrac 1{2m}\right\}$ 时,有\[\dfrac{\cos x}{x}\geqslant \dfrac{1}{2x}\geqslant m,\]其中 $m$ 是任意给定的正实数,且 $h\left(\dfrac{\pi}2\right)=-\dfrac{1}{2\pi}<0$,因此有一个零点. 当 $x\in \left[\dfrac{\pi}2,\dfrac{3\pi}2\right]$ 时,有 $h(x)<0$,没有零点. 当 $x\in \left(\dfrac{3\pi}2,2\pi\right]$ 时,有\[h'(x)=\dfrac{-\sin x\left(x+\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)}{x^2},\]注意到\[\left(x+\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)'=1-\dfrac{1}{\sin^2x}<0,\]于是 $h'(x)$ 先正后负,从而 $h(x)$ 先增后减.考虑到 $h(2\pi)=0$,因此函数 $h(x)$ 有极值点 $x_0\in \left(\dfrac{3\pi}2,2\pi\right)$,且 $h(x_0)>0$,又 $h\left(\dfrac{3\pi}2\right)<0$,因此函数 $h(x)$ 在 $\left(\dfrac{3\pi}2,2\pi\right]$ 上有 $2$ 个零点. 综上所述,函数 $F(x)$ 在区间 $(0,2\pi]$ 上有 $3$ 个零点.

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每日一题[1897]零点判断》有2条回应

  1. 有り明けの Z26897说:

    第二问恒等变形为cosx-(1/2π)=0更为简便.

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