每日一题[1894]联立计算

设过点 $P(-2,0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E:\dfrac{x^2}2+y^2=1$ 交于不同的两点 $A,B$,$F$ 为椭圆的右焦点,且直线 $AF,BF$ 分别交椭圆于不同于 $A,B$ 的点 $C,D$,且 $\lambda =\dfrac{AF}{FC}$,$\mu=\dfrac{BF}{FD}$,求 $\lambda+\mu$ 的取值范围.

答案    $(6,10)$.

解析    联立直线 $x=my+a$ 与椭圆方程,有\[(m^2+2)y^2+2may+a^2-2=0,\]设 $A,B,C,D$ 的坐标分别为 $A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,$C(x_2,y_2)$,$D(x_2,y_2)$,那么取 $a=1$,$m=\dfrac{x_1-1}{y_1}$,即联立直线 $AC$ 与椭圆 $E$,可得\[(m^2+2)y^2+2my-1=0,\]于是\[\lambda=-\dfrac{y_1}{y_3}=-\dfrac{y_1^2}{y_1y_3}=y_1^2\cdot\left(\left(\dfrac{x_1-1}{y_1}\right)^2+2\right)=x_1^2-2x_1+1+2y_1^2=3-2x_1,\]类似的,有 $\mu=3-2x_2$,从而取 $m$ 为直线 $l$ 的倒斜率 $m_0$,$a=-2$,可得\[\lambda+\mu=6-2(m_0(y_1+y_2)-4)=14-2m_0\cdot \dfrac{4m_0}{m_0^2+2}=6+\dfrac{16}{m_0^2+2},\]根据等效判别式,有\[2+m_0^2-4>0\iff m_0^2>2,\]因此 $\lambda+\mu$ 的取值范围是 $(6,10)$.

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