每日一题[1895]离散问题

已知函数 $f(x)=\ln x+(1-a)x+a$($a>0$),若不等式 $f(x)>0$ 有且只有两个整数解,则实数 $a$ 的取值范围是(       )

A.$\left(0,\dfrac{3+\ln 3}2\right)$

B.$(0,2+\ln 2)$

C.$\left[\dfrac{3+\ln 3}2,2+\ln 2\right)$

D.$\left[\dfrac{2\ln 2+4}3,\dfrac{3+\ln 3}2\right)$

答案    C.

解析    $f(1)=1$,因此 $x=1$ 是题中不等式的解.
当 $x\geqslant 2$ 时,有\[f(x)>0\iff a<\dfrac{\ln x +x}{x-1},\]于是当 $a<\ln 2+2$ 时,$x=2$ 符合题意;当 $a<\dfrac{\ln 3+3}2$ 时,$x=3$ 符合题意,考虑实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{\ln 3+3}2,\ln 2+2\right)$

备注    事实上,还需要证明 $\dfrac{\ln x+x}{x-1}$ 在 $x\geqslant 2$ 时单调递减,这是容易的.

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每日一题[1895]离散问题》有1条回应

  1. Frankie说:

    可以看出f(0)<0,f(1)=1大于0,所以一定有f(2)>0,f(3)<0,代入求解即可

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