每日一题[1892]对称换元

设 $a>b>0$,$n\in\mathbb N^{\ast}$,$A_n=\dfrac{1}{n+1}\left(a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+\cdots+ab^{n-1}+b^n\right)$,$B_n=\left(\dfrac{a+b}2\right)^n$.

1、求证:$A_2>B_2$.

2、比较 $A_n,B_n$ 的大小,并证明.

解析

1、当 $n=2$ 时,有 $A_2=\dfrac 13(a^2+ab+b^2)$,$B_2=\dfrac 14(a^2+2ab+b^2)$,于是\[A_2-B_2=\dfrac{4(a^2+ab+b^2)-3(a^2+2ab+b^2)}{12}=\dfrac{(a-b)^2}{12}>0,\]命题得证.

2、设 $\dfrac{a+b}2=x$,$\dfrac{a-b}2=y$,则\[\begin{cases} A_n=\dfrac{(x+y)^{n+1}-(x-y)^{n+1}}{2(n+1)y},\\ B_n=x^n,\end{cases}\]而\[A_n=\dfrac{\mathop{\rm C}\nolimits_ {n+1}^1x^ny+\mathop{\rm C}\nolimits_{n+1}^3x^{n-2}y^3+\cdots}{(n+1)y}> \dfrac{\mathop{\rm C}\nolimits_{n+1}^1x^ny}{(n+1)y}=x^n=B_n.\]

备注

几何意义如下.设函数 $f(x)=x^{n+1}$,则\[A_n>B_n\iff \dfrac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}>(n+1)\cdot \left(\dfrac{a+b}2\right)^n,\]设 $A(a,f(a))$,$B(b,f(b))$,则左边为直线 $ AB $ 的斜率,右边为 $ f(x)$ 在 $ x=\dfrac{a+b}2$ 处的切线斜率.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论