每日一题[1893]阿波罗尼斯圆

已知实数 $x,y$ 满足 $x^2+y^2=4$,则 $3\sqrt{5-2x}+\sqrt{13-6y}$ 的最小值为_______.

答案    $2\sqrt{10}$.

解析    题中代数式即\[3\sqrt{(x-1)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y-3)^2}=3PA+PB,\]其中 $A(1,0)$,$B(0,3)$.将 $x^2+y^2=4$ 看成阿波罗尼斯圆 $O$,其半径为 $r$,因此存在 $OA$ 延长线上的点 $A'$,和 $OB$ 线段上的点 $B'$,使得\[\begin{cases} \dfrac{OA'}{r}=\dfrac{r}{OA}=\lambda_A,\\ \dfrac{OB}{r}=\dfrac{r}{OB'}=\lambda_B,\end{cases}\iff \begin{cases} \lambda_A=2\land OA'=2,\\ \lambda_B=\dfrac 32\land OB'=\dfrac 43,\end{cases}\]因此 $3PA=\dfrac 32PA'$ 且 $PB=\dfrac 32PB'$,从而\[3PA+PB=\dfrac 32(PA'+PB')\geqslant \dfrac 32A'B'=\dfrac 32\sqrt{2^2+\left(\dfrac 43\right)^2}=2\sqrt{10},\]等号当 $P$ 为线段 $A'B'$ 与圆的公共点时取得.

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