每日一题[1901]极坐标表示

若有且仅有一个正方形,其中心位于原点,且其四个顶点在曲线 $y=x^3+ax$ 上,则实数 $a$ 的值为_______.

答案    $-2\sqrt 2$.

解析    只需要考虑 $a<0$ 的情形(否则题中曲线只在一三象限,不符合题意).根据三次函数的对称性,只需要找到一组点 $A(\theta:r)$($ r>0 $,$\theta$ 为锐角)和 $ B\left(\theta+\dfrac{\pi}2:r\right)$ 同时在曲线上,也即方程组\[\begin{cases} (r\cos\theta)^3+ar\cos\theta=r\sin\theta,\\ \left(r\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)\right)^3+ar\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right)=r\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}2\right),\end{cases}\iff \begin{cases} r^2\cos^3\theta+a\cos\theta=\sin\theta,\\ r^2\sin^3\theta+a\sin\theta=-\cos\theta,\end{cases}\]有且只有一组符合要求的解.消去 $r$,整理得\[a=\dfrac{\sin^4\theta+\cos^4\theta}{\sin^3\theta\cos\theta-\cos^3\theta\sin\theta}=-\dfrac{3+\cos4\theta}{\sin4\theta}\leqslant -\dfrac{\sqrt {9-1}\cdot \sqrt{1-\cos^24\theta}}{\sin 4\theta}=-2\sqrt 2,\]因此当 $a=-2\sqrt 2$ 时符合题意.

备注    也可以直接暴力求导:\[a=\dfrac{1+\tan^4\theta}{\tan^3\theta-\tan\theta},\]设 $f(x)=\dfrac{1+x^4}{x^3-x} $($0<x<1$),则其导函数\[f'(x)=\dfrac{(x^2+1)\left(x^2-2+\sqrt{3}\right)\left(x^2-2-\sqrt 3\right)}{x^2(x^2-1)^2},\]于是当 $a$ 取 $f\left(\sqrt{2-\sqrt 3}\right)$ 时有唯一解,而\[f\left(\sqrt{2-\sqrt 3}\right)=\dfrac{8-4\sqrt 3}{\dfrac{\sqrt 6-\sqrt 2}2\cdot \left(1-\sqrt 3\right)}=-2\sqrt 2,\]因此所求实数 $a$ 的值为 $-2\sqrt 2$. 另外,设 $t=\tan\theta$,则\[a(t^3-t)=1+t^2\implies a\left(t-\dfrac 1t\right)=\left(t-\dfrac 1t\right)^2+2,\]于是\[-a=\left(\dfrac1t-t\right)+\dfrac{1}{\dfrac 1t-t}\geqslant 2\sqrt 2,\]亦得.

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