每日一题[2147]辅助数列

已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足关系式 $n\left(a_{n+1}-a_{n}+1\right)=a_{n+1}+a_{n}+1$,$S_{n}$ 表示数列的前 $n$ 项和.下列说法正确的有(       )

A.若 $a_{2020}$ 是整数,则 $a_{3}$ 一定是整数

B.若 $a_{3}$ 是整数,则 $a_{2020}$ 一定是整数

C.若 $a_{2}=2$,则 $S_{n}=\dfrac{n(n-1)(n+4)}{6}$($n \in \mathbb{N}^{+}$)

D.若 $\forall n \geqslant 2021$,都有 $a_{n}>0$,则 $a_{2020}$ 的最小值为 $2019$

答案    BD.

解析    根据题意,有\[(n-1)a_{n+1}=(n+1)a_n+(1-n),\]也即\[\dfrac{a_{n+1}}{n+1}=\dfrac{a_n}{n-1}-\dfrac1{n+1},\]也即\[\dfrac{a_{n+1}}{n(n+1)}=\dfrac{a_n}{(n-1)n}-\dfrac{1}{n(n+1)},\]也即\[\dfrac{a_{n+1}}{n(n+1)}-\dfrac1{n+1}=\dfrac{a_n}{(n-1)n}-\dfrac 1n=\cdots=\dfrac{a_3-3}6=\dfrac{a_2-1}2,\]从而\[a_n=(n-1)+\dfrac{n(n-1)}6(a_3-3),\]进而\[a_{2020}=2019+1010\cdot 673(a_3-3),\]因此选项 $\boxed{A}$ 错误,选项 $\boxed{B}$ 正确. 若 $a_2=2$,则 $a_1=1$,从而当 $n\geqslant 2$ 时,有\[a_n=(n-1)+\dfrac{n(n-1)}2,\]从而\[S_n=1+\sum_{k=1}^n\left((k-1)+\dfrac{k(k-1)}2\right)=1+\dfrac{n(n-1)}2+\dfrac{(n+1)n(n-1)}6=\dfrac{n(n-1)(n+4)}6+1,\]选项 $\boxed{C}$ 错误. 由于当 $n\geqslant 2021$ 时,有\[a_n=(n-1)+n(n-1)\cdot \dfrac{a_{2020}-2019}{2020\cdot 2019}=\dfrac{n(n-1)}{2020\cdot 2019}\left(a_{2020}-2019\left(1-\dfrac{2020}n\right)\right),\]因此若 $\forall n \geqslant 2021$,都有 $a_{n}>0$,则 $a_{2020}$ 的最小值为 $2019$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论