每日一题[2145]条件排列

国际数学奥林匹克竞赛($IMO$)历史悠久,其考试一般分两天举行,每天考三道题.题目的类型共有四种,分别为代数、几何、组合、数论,且题目类型分布满足下列规则:

① 每个类型的题目至少出现一次;

② 每天的三道题类型各不相同;

③ 第 $3$ 题和第 $6$ 题中,至少有一道组合题. 下列说法正确的有(       )

A.共有 $216$ 种不同的题目排布方案

B.共有 $192$ 种不同的题目排布方案

C.如果 $IMO$ 组委会想出 $2$ 道组合题,则共有 $120$ 种不同的题目排布方案

D.如果 $IMO$ 组委会想出 $2 $ 道组合题,则共有 $144$ 种不同的题目排布方案

答案    BC.

解析 

情形一    组合题有 $2$ 道.按照第 $3$ 题和第 $6$ 题是否是组合题分类. 第 $3$ 题和第 $6$ 题中只有 $1$ 题为组合题,则方案数为\[4\mathop{\rm A}\nolimits_3^2(\mathop{\rm C}\nolimits_3^2-1)2!=96.\] 第 $3$ 题和第 $6$ 题均为组合题,则方案数为\[\mathop{\rm A}\nolimits_3^2(\mathop{\rm C}\nolimits_3^2-1)2!=24.\]

情形二    组合题有 $1$ 道.则方案数为\[2\mathop{\rm A}\nolimits_3^2\mathop{\rm A}\nolimits_3^3=72.\] 于是共有 $192$ 种不同的题目排布方案,且若组合题为 $2$ 道时,有 $120$ 种不同的题目排布方案.

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