每日一题[2150]构造对应

有 $8$ 个座位连成一排,现有 $5$ 人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有_______ 种.

答案       $3600$.

解析    当恰有两个空座位相邻时,空座位将 $8$ 个座位划分为若干段,假设它们包含的座位数依次为 $x_1,x_2,x_3$($x_1,x_2,x_3\in\mathbb N$ 且 $x_2\geqslant 1$),且\[x_1+x_2+x_3=5\iff (x_1+1)+x_2+(x_3+1)=7,\]因此 $(x_1,x_2,x_3)$ 共有 $\dbinom62=15$ 组,进而所求不同坐法数为\[15\cdot 2\cdot 5!=3600.\]

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