如图，在三棱锥 $P-ABC$ 的平面展开图中，$AC=1$，$AB=AD=\sqrt 3$，$AB\perp AC$，$AB\perp AD$，$\angle CAE=30^\circ$，则 $\cos\angle FCB=$_______．
已知 $a,b,c$ 为正数，满足如下两个条件： \[\begin{cases} a+b+c=32, \\ \dfrac{b+c-a}{bc}+\dfrac{c+a-b}{ca}+\dfrac{a+b-c}{ab}=\dfrac{1}{4}.\end{cases}\] 证明：以 $\sqrt a, \sqrt b, \sqrt c$ 为三边长可构成一个直角三角形．
已知实数 $a,b,c$ 满足\[\begin{cases} abc=-1,\\ a+b+c=4,\\ \dfrac {a}{a^2-3a-1}+\dfrac {b}{b^2-ba-1}+\dfrac {c}{c^2-3c-1}=\dfrac 4 9,\end{cases}\]则 $a^2+b^2+c^2=$ _______．
若方程 $x^2+2px-3p-2=0$ 的两个不相等的实数根 $x_1,x_2$ 满足 $x_1^2+x_1^3=4-(x_2^2+x_2^3)$，则实数 $p$ 的所有可能的值之和为（ ）
A．$0$
B．$-\dfrac 3 4$
C．$-1$
D．$-\dfrac 5 4$
若关于 $x$ 的方程 $x^{2}-34 x+34 k-1=0$ 至少有一个正整数根，求满足条件的正整数 $k$ 的值．
若正数 $a,b$ 满足 $a b=1$，求 $M=\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+2 b}$ 的最小值．
已知正实数 $x,y,z$ 满足 $xy+yz+zx\neq 1$，且\[\dfrac{(x^2-1)(y^2-1)}{xy}+\dfrac{(y^2-1)(z^2-1)}{yz}+\dfrac{(z^2-1)(x^2-1)}{zx}=4.\] 求 $\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}$ 的值．
已知 $a+b+c=5$，$a^2+b^2+c^2=15$，$a^3+b^3+c^3=47$．求\[M=(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)\]的值．
