每日一题[2143]杀机四伏

若一个正整数 $n$ 可以写作构成等差数列的 $p$ 个不同正整数的和,就称 $n$ 是“$p-$ 可差数";若一个正整数 $n$ 可以写作构成等比数列的 $q$ 个不同正整数的和,就称 $n$ 是“$q$ 可比数”.下列说法正确的有(       )

A.$2020$ 是 $101-$ 可差数

B.$2019$ 是 $3 -$ 可比数

C.存在 $p_{1}>5$,使得 $ 2019$ 是 $p_{1}-$ 可差数

D.不存在奇数 $q_{1} \geqslant 3,$ 使得 $2020$ 是 $q_{1}-$ 可比数

答案    BCD.

解析    若 $2020$ 是 $101-$ 可差数,那么对应等差数列的等差中项为 $20$,这与正整数条件矛盾,选项 $\boxed{A}$ 错误.

若 $2019$ 是 $3-$ 可比数,那么有\[am^2+amn+an^2=2019,\]其中 $a,m,n\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $(m,n)=1$,$m<n$,则\[\begin{cases} a=3,\\ m^2+mn+n^2=673,\end{cases} \lor \begin{cases} a=1,\\ m^2+mn+n^2=2019,\end{cases}\]有正整数解 $(a,m,n)=(3,8,21),(1,13,37)$,选项 $\boxed{B}$ 正确.

考虑到 $2019=3\cdot 673$,与之前的分析类似,若 $2019$ 为 $p-$ 可差数,那么 $p$ 只能为 $3,6$,经验证 $2019$ 为 $6-$ 可差数(首项为 $4$,公差为 $133$ 即可),因此 $\boxed{C}$ 正确.

注意到 $2020=2^2\cdot 5\cdot 101$,与之前的分析类似,不小于 $3$ 的奇数 $q_1$ 只可能为 $3,5,7,9,11$,经讨论不存在奇数 $q_{1} \geqslant 3,$ 使得 $2020$ 是 $q_{1}-$ 可比数,选项 $\boxed{D}$ 正确.

备注    选项 $\boxed{B}$ 和 $\boxed{D}$ 是通过计算机编程得到的.

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每日一题[2143]杀机四伏》有2条回应

  1. louxin2020说:

    C选项中,2019是6-可差数,令首项为4,公差为133满足条件

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