每日一题[2152]分离离散

已知对任意实数 $x$ 都有 $f'(x)=3{\rm e}^x+f(x)$,$f(0)=-1$,若不等式 $f(x)<a(x-2)$(其中 $a<1$)的解集中恰有两个整数,则 $a$ 的取值范围是(       )

A.$\left[\dfrac{4}{3{\rm e}},\dfrac 12\right)$

B.$\left[\dfrac{4}{3{\rm e}},1\right)$

C.$\left[\dfrac7{4{\rm e}^2},\dfrac{4}{3{\rm e}}\right)$

D.$\left[\dfrac7{4{\rm e}^2},\dfrac 12\right)$

答案    C.

解析    根据题意,有\[\left({\rm e}^{-x}f(x)\right)'=3\iff f(x)=(3x+C){\rm e}^x,\]结合 $f(0)=-1$,可得 $C=-1$,于是关于 $x$ 的不等式\[a(x-2)>(3x-1){\rm e}^x\]只有两个整数解.设函数 $g(x)=\dfrac{(3x-1){\rm e}^x}{x-2}$,则其导函数\[g'(x)=\dfrac{(3x^2-7x-3){\rm e}^x}{(x-2)^2},\]当 $x>2$ 时,有\[g(x)=\dfrac{(3x-6){\rm e}^x}{x-2}>3{\rm e}^2>1,\]不符合题意.当 $x<2$ 时,函数 $g(x)$ 满足在 $x\leqslant -1$ 时单调递增,在 $x\geqslant 0$ 时单调递减,且\[g(-1)=\dfrac{4}{3{\rm e}}<g(0)=\dfrac 12,\quad g(1)=-2{\rm e},\]因此当 $g(-2)\leqslant a<g(-1)$ 时,题中不等式只有两个整数解 $x=0,-1$,从而 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{7}{4{\rm e}^2},\dfrac4{3{\rm e}}\right)$.

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