每日一题[2000]主导地位

若 $2^a+{\log_2}a=4^b+2{\log_4}b$,则[[nn]]

A.$a>2b$

B.$a<2b$

C.$a>b^2$

D.$a<b^2$

答案    B.

解析    根据题意,有\[2^a+{\log_2}a=2^{2b}+{\log_2}b,\]$a\geqslant 2b$,则\[LHS\geqslant 2^{2b}+{\log_2}{2b}=2^{2b}+{\log_2}b+1>RHS,\]不符合题意,因此 $a<2b$

备注    事实上,有 $b<a<2b$.考虑到当 $a,b$ 很大时,指数函数部分处于主导地位,当 $a,b$ 很小时,对数函数部分处于主导地位,因此当 $b\to +\infty$ 时,$a\to 2b$;当 $b\to 0$ 时,$a\to b$.这样就否定了选项 $\boxed{C}$$\boxed{D}$

挑战    联想 $f(x)=x+\dfrac 1x$$x>0$)当 $x$ 很大和很小时的图象,尝试画出函数 $g(x)=2^x+{\log_2}x$ 的草图.

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