每日一题[1994]轮换式计算之二

已知正实数 $x,y,z$ 满足 $xy+yz+zx\neq 1$,且\[\dfrac{(x^2-1)(y^2-1)}{xy}+\dfrac{(y^2-1)(z^2-1)}{yz}+\dfrac{(z^2-1)(x^2-1)}{zx}=4.\] 求 $\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}$ 的值.

答案    $1$.

解析    根据题意,有\[\sum_{\rm cyc}z(x^2-1)(y^2-1)-4xyz=0,\]即\[\sum_{\rm cyc}\left(x^2y^2z-x(y^2+z^2)+x\right)-4xyz=0,\]也即\[xyz\left(\sum_{\rm cyc}(xy)-1\right)-\sum_{\rm cyc}(xy^2+x^2y+xyz)+\sum_{\rm cyc}x=0,\]即\[xyz\left(\sum_{\rm cyc}(xy)-1\right)-\sum_{\rm cyc}x\cdot \sum_{\rm cyc}(xy)-\sum_{\rm cyc}x=0,\]即\[\left(xyz-\sum_{\rm cyc}x\right)\left(\sum_{\rm cyc}(xy)-1\right)=0,\]根据题意,有 $xy+yz+zx\ne 1$,因此\[xyz-(x+y+z)=0\iff \dfrac1{xy}+\dfrac1{yz}+\dfrac1{zx}=1.\]

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