每日一题[1997]降次

若方程 $x^2+2px-3p-2=0$ 的两个不相等的实数根 $x_1,x_2$ 满足 $x_1^2+x_1^3=4-(x_2^2+x_2^3)$,则实数 $p$ 的所有可能的值之和为(       )

A.$0$

B.$-\dfrac 3 4$

C.$-1$

D.$-\dfrac 5 4$

答案    B.

解析    根据题意,有\[x^2=-2px+3p+2,\]因此\[x^2+x^3=(-2p+1)x^2+(3p+2)x=(-2p+1)(-2px+3p+2)+(3p+2)x,\]整理可得\[x^2+x^3=(4p^2+p+2)x-6p^2-p+2,\]根据题意,有\[(x_1^2+x_1^3)+(x_2^2+x_2^3)=4\implies (4p^2+p+2)(x_1+x_2)-12p^2-2p+4=4,\]根据韦达定理,$x_1+x_2=-2p$,于是\[8p^3+14p^2+6p=0\iff p(4p+3)(p+1)=0,\]经验证 $p=-1$ 不符合题意,因此所求可能值之和为 $-\dfrac 34$.

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