每日一题[1992]同余分析

已知 $a,b$ 为正整数,求 $M=3a^2-ab^2-2b-4$ 能取到的最小正整数值.

解析    因 $a,b$ 为正整数,要使得 $M=3a^2-ab^2-2b-4$ 的值为正整数,则有 $a\geqslant 2$.

当 $a=2$ 时,$b$ 只能为 $1$,此时 $M=4$,故 $M$ 能取到的最小正整数值不超过 $4$;

当 $a=3$ 时,$b$ 只能为 $1$ 或 $2$,若 $b=1$,$M=18$;若 $b=2$,则 $M=7$;

当 $a=4$ 时,$b$ 只能为 $1$ 或 $2$ 或 $3$,若 $b=1$,$M=38$;若 $b=2$,则 $M=24$,若 $b=3$,则 $M=2$.

下面证明 $M=3a^2-ab^2-2b-4$ 的值无法取到 $1$,用反证法.

假设 $M=1$,则\[3a^2-ab^2-2b-4=1\iff 3a^2-ab^2=2b+5\iff a(3a-b^2)=2b+5,\]因 $b$ 为正整数,故 $2b+5$ 为奇数,从而 $a$ 为奇数,$b$ 为偶数,不妨设 $a=2m+1$,$b=2n$,其中 $m,n$ 均为正整数,则\[a(3a-b^2)=(2m+1)[3(2m+1)-(2n)^2]=4(3m^2+3m-2mn^2-n^2)+3,\] 即 $a(3a-b^2)$ 被 $4$ 除所得余数为 $3$,而 $2b+5=2(2n)+1=4n+1$ 被 $4$ 除所得余数为 $1$,故上式不可能成立,$M$ 不可能取到 $1$.

综上所述,$M$ 能取到的最小正整数值为 $2$.


备注    $2016$年全国初中数学联赛第$14$题,来源为$2014$年斯洛文尼亚数学奥赛题.

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