每日一题[1993]轮换式计算之一

已知 $a+b+c=5$,$a^2+b^2+c^2=15$,$a^3+b^3+c^3=47$.求\[M=(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)\]的值.

答案    $625$.

解析    由已知得\[ab+bc+ca=\dfrac{1}{2}[(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)]=5,\] 由恒等式 $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ 得\[47-3abc=5\times(15-5),\]所以 $abc=1$,又\[a^2+ab+b^2=(a+b+c)(a+b)-(ab+bc+ca)=5(5-c)-5=5(4-c),\]同理可得\[\begin{cases} b^2+bc+c^2=5(4-a),\\ c^2+ca+a^2=5(4-b),\end{cases}\]根据三次方程的韦达定理,$a,b,c$ 是关于 $t$ 的方程\[t^3-5t^2+5t-1=0\]的三个实根,因此\[M=5^3(4-a)(4-b)(4-c)=125\left(t^3-5t^2+5t-1\right)\big|_{t=4}=625.\]

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