每日一题[2001]折叠

如图,在三棱锥 $P-ABC$ 的平面展开图中,$AC=1$,$AB=AD=\sqrt 3$,$AB\perp AC$,$AB\perp AD$,$\angle CAE=30^\circ$,则 $\cos\angle FCB=$_______.

答案    $-\dfrac 14$.

解析    在直角 $\triangle CAB$ 中可得 $BC=2$,在直角 $\triangle ABD$ 中可得 $BD=\sqrt 6$,由展开图的生成方式可得\[\begin{cases} AE=AD=\sqrt 3,\\ BF=BD=\sqrt 6,\end{cases}\]在 $\triangle ACE$ 中,可得 $CE=1$,于是 $CF=CE=1$,因此在 $\triangle BCF$ 中,应用余弦定理可得\[\cos\angle FCB=\dfrac{CB^2+CF^2-BF^2}{2\cdot CB\cdot CF}=-\dfrac14.\]

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