每日一题[1996]特殊根

若关于 $x$ 的方程 $x^{2}-34 x+34 k-1=0$ 至少有一个正整数根,求满足条件的正整数 $k$ 的值.

答案   $k=1$.

解析    设方程的两个根为 $x_{1}, x_{2}$,且 $x_{1}$ 为正整数,则\[\begin{cases} x_{1}+x_{2}=34, \\ x_{1} x_{2}=34 k-1,\end{cases}\]由 $x_{1}+x_{2}=34$ 知 $x_{2}=34-x_{1}$,于是 $x_{2}$ 也是整数.由 $k$ 为正整数及 $x_{1} x_{2}=34 k-1$ 可知 $x_{2}>0$,于是 $ x_{2}$ 是正整数.注意到\[\left(x_{1}+1\right)\left(x_{2}+1\right)=x_{1} x_{2}+x_{1}+x_{2}+1=34(k+1),\]所以 $17 \mid \left(x_{1}+1\right)\left(x_{2}+1\right)$,进而 $17 \mid \left(x_{1}+1\right)$ 或 $17 \mid \left(x_{2}+1\right)$.若 $17 \mid \left(x_{1}+1\right)$,则由 $x_{1}+1 \leqslant x_{1}+x_{2}=34$ 知;$x_{1}+1=17$ 或 $x_{1}+1=34$. 当 $x_{1}+1=17$ 时,$x_{1}=16$,$x_{2}=18$,此时 $34 k-1=16 \times 18$,$k$ 无整数解; 当 $x_{1}+1=34$ 时,$x_{1}=33$,$x_{2}=1$,此时 $34 k-1=33 \times 1$,解得 $k=1$. 若 $17 \mid \left(x_{2}+1\right)$,同样可得 $k=1$. 所以满足条件的正整数 $k=1$.

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