每日一题[1999]轮换式计算

已知 $a,b,c$ 为正数,满足如下两个条件: \[\begin{cases} a+b+c=32, \\ \dfrac{b+c-a}{bc}+\dfrac{c+a-b}{ca}+\dfrac{a+b-c}{ab}=\dfrac{1}{4}.\end{cases}\] 证明:以 $\sqrt a, \sqrt b, \sqrt c$ 为三边长可构成一个直角三角形.

解析    将第一个式子代入第二个式子可得\[\dfrac{32-2a}{bc}+\dfrac{32-2b}{ca}+\dfrac{32-2c}{ab}=\dfrac{1}{4},\]变形,得\[1024-2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=\dfrac{1}{4}abc,\]又\[(a+b+c)^{2}=1024\iff a^{2}+b^{2}+c^{2}=1024-2(ab+bc+ca),\]代入得\[1024-2[1024-2(ab+bc+ca)]=\dfrac{1}{4}abc,\]即\[abc=16(ab+bc+ca)-4096,\]即\[\begin{split} (a-16)(b-16)(c-16)&=abc-16(ab+bc+ca)+256(a+b+c)-16^{3}\\ &=-4096+256\times32-16^{3}\\ &=0,\end{split}\]所以 $a=16$ 或 $b=16$ 或 $c=16$.结合 $a+b+c=32$,可得 $b+a=c$ 或 $c+a=b$ 或 $c+b=a$. 因此,以 $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$ 为三边长可构成一个直角三角形.

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