已知椭圆 $C: \dfrac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ 的右焦点为 $F$，原点为 $O,$ 椭圆的动弦 $A B$ 过焦点 $F$ 且不垂直于坐标轴，弦 $A B$ 的中点为 $N$，椭圆 $C$ 在点 $A, B$ 处的两切线的交点为 $M$．
1、求证：$O, M, N$ 三点共线．
2、求 $\dfrac{|A B| \cdot|F M|}{|F N|}$ 的最小值．
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每日一题[2254]三角不等式
已知 $|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|=2$，则 $3|\boldsymbol a+\boldsymbol b|+2|\boldsymbol a -\boldsymbol b|$ 的最大值是_______；最小值是_______．
每日一题[2253]平衡位置
已知在 $\triangle ABC$ 中，$\dfrac{\cos A}{\sin B}+2\dfrac{\cos B}{\sin A}-3\dfrac{\cos C}{\sin A\sin B}=3$，则 $\sin C=$ _______．
每日一题[2252]套娃函数
某同学研究函数 $f(x)=\cos (\sin x)$ 时，因为该函数长相奇特，亲切的称之为套娃函数，且定义 $f(x)$ 为一次套娃函数，$f(f(x))$ 为二次套娃函数，$\underbrace{f(\cdots f(x))}_{n \text{ 个 }f}$ 为 $n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）次套娃函数，那么下列说法正确的是（ ）
A．对于一次套娃函数，当 $x=\dfrac{\pi}2+k\pi$（$k\in\mathbb Z$）时取得最小值「
B．对于 $n$ 次套娃函数，其一定存在最大值
C．对于 $n$ 次套娃函数，其最小正周期一定为 $\pi$
D．对于 $m+1$（$m\in \mathbb N^{\ast}$）次套娃函数，该函数的值域必然为 $m$ 次套娃函数的真子集
每日一题[2251]韦达定理
已知实数 $a,b,c$ 均不等于 $0$，且 $a+b+c=m$，$a^2+b^2+c^2=\dfrac{m^2}2$，求 $\dfrac{a(m-2a)^2+b(m-2b)^2+c(m-2c)^2}{abc}$ 的值．
每日一题[2250]血腥暴力
已知 $A,B,C,D$ 是双曲线 $xy=k$ 上的四个点，$AD$ 交 $BC$ 于点 $P$，$BD$ 交 $AC$ 于点 $Q$，$CD$ 交 $AB$ 于点 $R$，$O$ 为坐标原点，求证：$O,P,Q,R$ 四点共圆．
每日一题[2249]先猜后证
已知 ${\rm e}$ 是自然对数的底数，函数 $f(x)={\rm e}^x+\sin x-2x$ 的导函数为 $g(x)$．
1、求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程．
2、若对任意 $x\in\left[-\dfrac{\pi}3,0\right]$，都有 $x\cdot g(x)\geqslant x^2+m$，求实数 $m$ 的取值范围．
每日一题[2247]换位思考
用 $1,2,3,4,5$ 共 $5$ 个数字组成一个两位数和一个三位数（每个数字恰好使用一次），使这两个数的乘积最大，那么这两个数各是多少？
每日一题[2246]镜
有两道成直角的墙，在这个角落围上篱笆，使篱笆的两条边与两道墙构成四边形，篱笆长度是 $60$ 米，请问四边形的面积最大是多少？