每日一题[2254]三角不等式

已知 $|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|=2$,则 $3|\boldsymbol a+\boldsymbol b|+2|\boldsymbol a -\boldsymbol b|$ 的最大值是_______;最小值是_______.

答案    $10$;$4$.

解析    一方面,有\[3|\boldsymbol a+\boldsymbol b|+2|\boldsymbol a -\boldsymbol b|\leqslant 3(|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|)+2(|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|)=5(|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|)=10,\]等号当 $|\boldsymbol b|=0$ 时取得. 另一方面,有\[\begin{cases} |\boldsymbol a+\boldsymbol b|+|\boldsymbol a-\boldsymbol b|\geqslant |(\boldsymbol a+\boldsymbol b)+(\boldsymbol a-\boldsymbol b)|=2|\boldsymbol a|,\\ |\boldsymbol a+\boldsymbol b|+|\boldsymbol a-\boldsymbol b|\geqslant|(\boldsymbol a+\boldsymbol b)-(\boldsymbol a-\boldsymbol b)|=2|\boldsymbol b|,\end{cases}\]而\[3|\boldsymbol a+\boldsymbol b|+2|\boldsymbol a -\boldsymbol b|\geqslant 2|\boldsymbol a+\boldsymbol b|+2|\boldsymbol a-\boldsymbol b|=2(|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|)=4,\]等号当 $|\boldsymbol a|=|\boldsymbol b|=1$ 且 $\boldsymbol a$ 与 $\boldsymbol b$ 反向时取得. 综上所述,所求最大值为 $10$,最小值为 $4$.

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