每日一题[2252]套娃函数

某同学研究函数 $f(x)=\cos (\sin x)$ 时,因为该函数长相奇特,亲切的称之为套娃函数,且定义 $f(x)$ 为一次套娃函数,$f(f(x))$ 为二次套娃函数,$\underbrace{f(\cdots f(x))}_{n \text{ 个 }f}$ 为 $n$($n\in\mathbb N^{\ast}$)次套娃函数,那么下列说法正确的是(       )

A.对于一次套娃函数,当 $x=\dfrac{\pi}2+k\pi$($k\in\mathbb Z$)时取得最小值「

B.对于 $n$ 次套娃函数,其一定存在最大值

C.对于 $n$ 次套娃函数,其最小正周期一定为 $\pi$

D.对于 $m+1$($m\in \mathbb N^{\ast}$)次套娃函数,该函数的值域必然为 $m$ 次套娃函数的真子集

答案    ABCD.

解析    对于选项 $\boxed{A}$,由于 $\sin x$ 的取值范围是 $[-1,1]$,而当 $x\in [-1,1]$ 时,函数 $y=\cos x$ 在 $x=\pm 1$ 时取得最小值,因此对于一次套娃函数,当 $x=\dfrac{\pi}2+k\pi$($k\in\mathbb Z$)时取得最小值. 对于选项 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$,考虑到函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$,且 $x=0$ 为其对称轴,因此 $\pi$ 为 $n$ 次套娃函数的周期,$x=k\pi$($k\in\mathbb Z$)为 $n$ 次套娃函数的对称轴.因而只需要考虑函数在 $x\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$ 上的表现,容易知道 $n$ 次套娃函数在该区间(记为 $D$)上的单调性为:$n$ 为奇数时单调递减,$n$ 为偶数时单调递增.从而对于 $n$ 次套娃函数 $f_n(x)=\underbrace{f(\cdots f(x))}_{n \text{ 个 }f}$,其存在最大值\[\begin{cases} f_n(0),&2\nmid n,\\ f_n\left(\dfrac{\pi}2\right),&2\mid n.\end{cases}\]且利用单调性和对称性可知,对于 $n$ 次套娃函数,其最小正周期一定为 $\pi$. 对于选项 $\boxed{D}$,我们可以证明\[\begin{cases} f_{m+1}\left(\dfrac{\pi}2\right)<f_m\left(0\right),f_{m+1}\left(0\right)>f_m\left(\dfrac{\pi}2\right),&2\nmid n,\\ f_{m+1}\left(\dfrac{\pi}2\right)>f_m\left(0\right),f_{m+1}\left(0\right)<f_m\left(\dfrac{\pi}2\right),&2\mid n,\end{cases}\]即\[\begin{cases} f_{m}\left(f\left(\dfrac{\pi}2\right)\right)<f_m\left(0\right),f_{m}\left(f\left(0\right)\right)>f_m\left(\dfrac{\pi}2\right),&2\nmid n,\\ f_{m}\left(f\left(\dfrac{\pi}2\right)\right)>f_m\left(0\right),f_{m}\left(f\left(0\right)\right)<f_m\left(\dfrac{\pi}2\right),&2\mid n,\end{cases}\] 考虑到随着 $m$ 不同,函数 $f_m(x)$ 的单调性表现,只需要\[f\left(\dfrac{\pi}2\right)>0,\quad f(0)<\dfrac{\pi}2,\]这显然成立,命题得证. 综上所述,选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$ 正确.

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