每日一题[2251]韦达定理

已知实数 $a,b,c$ 均不等于 $0$,且 $a+b+c=m$,$a^2+b^2+c^2=\dfrac{m^2}2$,求 $\dfrac{a(m-2a)^2+b(m-2b)^2+c(m-2c)^2}{abc}$ 的值.

答案    $12$.

解析    设 $a,b,c$ 是关于 $t$ 的三次方程的三个根,由于\[ab+bc+ca=\dfrac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}2=\dfrac {m^2}4,\]于是根据三次方程的韦达定理,有\[t^3-mt^2+\dfrac{m^2}4t-abc=0\iff 4abc=t(m-2t)^2,\]因此\[a(m-2a)^2=b(m-2b)^2=c(m-2c)^2=4abc,\]从而所求代数式的值为 $12$.

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