已知三条直线 $l_1:y=k_1x$，$l_2:y=k_2x+1$，$l_3:y=k_3(x-1)$ 围成的三角形面积为 $4$，且 $k_1<0<k_2<k_3$，则 $\dfrac{k_2}{k_3}$ 的最大值是（ ）
A．$\dfrac 13$
B．$\dfrac 12$
C．$\dfrac{\sqrt 3}3$
D．$\dfrac{\sqrt 2}2$
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每日一题[2264]同构函数
已知函数 $f(x)=\left({\rm e}^{a x}-1\right) \ln x$（$a>0$）．
1、当 $a=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．
2、若关于 $x$ 的方程 $f(x)=a x^2-a x$ 在 $[1,+\infty)$ 上恰有 $3$ 个实数解，求 $a$ 的取值范围．
每日一题[2263]调整
已知三角形 $ABC$ 的三边长 $a,b,c$ 满足 $a\leqslant 2$，$b\leqslant 3$，$c\leqslant 4$，则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值是（ ）
A．$\dfrac{3\sqrt{15}}4$
B．$3$
C．$4$
D．以上答案都不对
每日一题[2262]分离变量
设函数 $f(x)=x^2+(x-1)|x-a|+3$．
① 若函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是[[nn]]；
② 若函数 $f(x)\geqslant 2x$ 对 $x\in\mathbb R$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是[[nn]]．
每日一题[2261]强制分离
已知函数 $\varphi(x)=\dfrac{a}{x+1}$，$ a$ 为正常数．
1、若 $f(x)=\ln x+\varphi(x)$，且 $a=\dfrac{9}{2}$，求函数 $f(x)$ 的单调性．
2、若 $g(x)=|\ln x|+\varphi(x)$，且对任意的 $x_1, x_2 \in(0,2]$，$ x_1 \neq x_2$，都有 $\dfrac{g\left(x_2\right)-g\left(x_1\right)}{x_2-x_1}<-1$，求 $a$ 的取值范围．
每日一题[2260]单调研究
设函数 $f(x)=x\ln x$．
1、设 $g(x)=\dfrac{f^{\prime}(x)}{x}$，求 $g(x)$ 的极值点．
2、若 $x_2>x_1>0$ 时，总有 $\dfrac{m}{2}\left(x_2^2-x_1^2\right)>f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．
每日一题[2259]内外半径
已知双曲线 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>0$，$b>0$）的焦点为 $F_{1}, F_{2}$，$P$ 是双曲线上一点，且 $\angle F_{1} P F_{2}=\dfrac{\pi}{3}$．若 $\triangle F_{1} P F_{2}$ 的外接圆和内切圆的半径分别为 $R, r$，且 $ R=4 r$，则双曲线的离心率 $e$ 为_______．
每日一题[2258]韦达定理
已知实数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=1$，$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$，则 $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ 的最小值是（ ）
A．$\dfrac{1}{3}$
B．$\dfrac{5}{9}$
C．$\dfrac{7}{9}$
D．$1$
每日一题[2257]中垂面
在棱长为 $4 \sqrt{2}$ 的正四面体 $A-B C D$ 中，点 $E, F$ 分别为直线 $A B, C D$ 上的动点，点 $P$ 为 $E F$ 中点，$Q$ 为正四面体中心（满足 $QA=QB=QC=QD$），若 $PQ=\sqrt 2$，则 $EF$ 的长度为（ ）
A．$2 \sqrt{6}$
B．$\sqrt{6}$
C．$3$
D．$2$
每日一题[2256]擦身而过
已知函数 $f(x)=\begin{cases} \cos\dfrac{\pi x}2-1,&x\geqslant 0,\\ -{\log_a}(-x),&x<0,\end{cases}$（$a>0$ 且 $a \neq 1$），使得函数图象上关于原点对称的点至少有 $3$ 对的充分条件是（ ）
A．$a\in\left(0, \dfrac{\sqrt{6}}{6}\right)$
B．$a\in\left(\dfrac{\sqrt{6}}{6}, 1\right)$
C．$a\in\left(0, \dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)$
D．$a\in\left(\dfrac{\sqrt{5}}{5}, 1\right)$