每日一题[2253]平衡位置

已知在 $\triangle ABC$ 中,$\dfrac{\cos A}{\sin B}+2\dfrac{\cos B}{\sin A}-3\dfrac{\cos C}{\sin A\sin B}=3$,则 $\sin C=$ _______.

答案    $1$.

解析    根据题意,有\[\dfrac{\cos A}{\sin B}+2\dfrac{\cos B}{\sin A}+3\dfrac{\cos A\cos B-\sin A\sin B}{\sin A\sin B}=3,\]也即\[\dfrac{\cos A}{\sin B}+2\dfrac{\cos B}{\sin A}+3\cdot \dfrac{\cos A}{\sin B}\cdot \dfrac{\cos B}{\sin A}=6.\]若 $A\geqslant \dfrac{\pi}2$,设 $A=\dfrac{\pi}2+x$,其中 $x\in \left[0,\dfrac{\pi}2\right)$,则 $x+B<\dfrac{\pi}2$,$x,B$ 均为锐角,此时\[\left(2-3\dfrac{\sin x}{\sin B}\right)\dfrac{\cos B}{\cos x}=3+\dfrac{\sin x}{\sin B},\]从而 $\dfrac{\sin x}{\sin B}\in \left(0,\dfrac 23\right)$,进而\[\dfrac{\cos B}{\cos x}>3\implies \cos B>\cos x\implies B<x\implies \sin B<\sin x\implies \dfrac {\sin x}{\sin B}>1,\]矛盾,因此 $A$ 为锐角. 类似可推出 $B$ 为锐角. 此时若 $\cos A>\sin B$,则\[1-\cos^2A<1-\sin^2B\implies \sin^2A<\cos^2B\implies \sin A<\cos B,\]从而\[\dfrac{\cos A}{\sin B}+2\dfrac{\cos B}{\sin A}+3\cdot \dfrac{\cos A}{\sin B}\cdot \dfrac{\cos B}{\sin A}>6,\]矛盾,类似可得 $\cos A<\sin B$ 时也矛盾,因此 $\cos A=\sin B$,$A,B$ 互余,从而 $C$ 为直角,$\sin C=1$.

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