每日一题[2100]百花齐放

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$,椭圆 $C$ 的长轴长为 $\sqrt 6$.

1、求椭圆 $C$ 的方程.

2、若直线 $l:x+y+m=0$($m>0$)与椭圆 $C$ 相交于 $A,B$ 两点且 $OA\perp OB$,求 $m$ 的值及以 $AB$ 为直径的圆的周长.

解析

1、根据题意,有 $a=\dfrac{\sqrt 6}2$,且半焦距\[c=\dfrac{\sqrt 6}2\cdot \dfrac{\sqrt 2}2=\dfrac{\sqrt 3}2,\]于是\[b^2=a^2-c^2=\dfrac 64-\dfrac 34=\dfrac 34,\]所求椭圆方程为\[\dfrac{x^2}{\frac 32}+\dfrac{y^2}{\frac 34}=1.\]

2、设 $A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,则\[OA\perp OB\iff \dfrac{y_1}{x_1}\cdot \dfrac{y_2}{x_2}=-1,\]联立椭圆与直线 $l$ 的方程,可得\[\dfrac{x^2}{\frac 32}+\dfrac{y^2}{\frac 34}=\left(\dfrac{x+y}m\right)^2,\]即\[\left(\dfrac 43-\dfrac1{m^2}\right)\left(\dfrac yx\right)^2-\dfrac{2}{m^2}\cdot \dfrac yx+\left(\dfrac 23-\dfrac1{m^2}\right)=0,\]因此\[\dfrac{y_1}{x_1}\cdot \dfrac{y_2}{x_2}=-1\iff \dfrac{\dfrac 23-\dfrac 1{m^2}}{\dfrac 43-\dfrac1{m^2}}=-1\iff m^2=1,\]于是 $m=1$,此时 $l:y=-x-1$.设 $AB$ 的中点为 $M(t,-t-1)$,则根据点差法的结论,有直线 $OM$ 与直线 $l$ 的斜率之积为 $-\dfrac{b^2}{a^2}=-\dfrac 12$,于是\[\dfrac{-t-1}{t}\cdot (-1)=-\dfrac 12\iff t=-\dfrac 23,\]从而 $M\left(-\dfrac 23,-\dfrac13\right)$,而 $\triangle AOB$ 是直角三角形,有\[|AB|=2|OM|=\dfrac{2\sqrt 5}3,\]所求圆的周长为 $\pi\cdot |AB|=\dfrac{2\sqrt 5}3\pi$.

 

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