每日一题[2104]旋转全等

在平面直角坐标系 $xOy$ 中,已知圆 $C_1:(x+3)^2+(y-1)^2=4$ 和圆 $C_2:(x-4)^2+(y-5)^2=4$.

1、若直线 $l$ 过点 $A(-4,0)$,且被圆 $C_1$ 截得的最长弦为 $AB$,最短弦为 $CD$,求四边形 $ABCD$ 的面积.

2、设 $P$ 为平面上的点,满足:存在过点 $P$ 的无穷多对互相垂直的直线 $l_1$ 和 $l_2$,它们分别与圆 $C_1$ 和圆 $C_2$ 相交,且直线 $l_1$ 被圆 $C_1$ 截得的弦长与直线 $l_2$ 被 $C_2$ 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 $P$ 的坐标.

解析

1、点 $A$ 在圆 $C_1$ 内部,于是直线 $l$ 被圆 $C_1$ 截得的最长弦 $AB$ 为过点 $A$ 的直径,长为 $4$,而最短弦 $CD$ 为与过点 $A$ 的直径垂直于点 $A$ 的弦,长度为\[2\cdot \sqrt{2^2-|C_1A|^2}=2\sqrt 2,\]因此四边形 $ABCD$ 的面积\[[ABCD]=\dfrac 12\cdot |AB|\cdot |CD|=\dfrac 12\cdot 4\cdot 2\sqrt 2=4\sqrt 2.\]

2、设 $P(x_0,y_0)$,直线 $l_1,l_2$ 的方程分别为\[\begin{split} l_1:m(x-x_0)+n(y-y_0)=0,\\ l_2:n(x-x_0)-m(y-y_0)=0,\end{split}\]那么由直线 $l_1$ 被圆 $C_1$ 截得的弦长与直线 $l_2$ 被 $C_2$ 截得的弦长相等可得 $C_1$ 到 $l_1$ 的距离与 $C_2$ 到 $l_2$ 的距离相等,即\[\dfrac{|m(-3-x_0)+n(1-y_0)|}{\sqrt{m^2+n^2}}=\dfrac{|n(4-x_0)-m(5-y_0)|}{\sqrt{m^2+n^2}},\]于是对于任何实数 $m,n$,均有\[m(-3-x_0)+n(1-y_0)=\pm\big(n(4-x_0)-m(5-y_0)\big),\]即\[(2-x_0-y_0)m+(-3-y_0+x_0)n=0\lor (-8-x_0+y_0)m+(5-y_0-x_0)n=0,\]从而\[\begin{cases} 2-x_0-y_0=0,\\ -3-y_0+x_0=0,\end{cases}\lor\begin{cases} -8-x_0+y_0=0,\\ 5-y_0-x_0=0,\end{cases}\]解得 $(x_0,y_0)=\left(\dfrac 52,-\dfrac 12\right)$ 或 $\left(-\dfrac 32,\dfrac{13}2\right)$.

备注

事实上,$P$ 点的两个位置与 $C_1,C_2$ 构成正方形,如图.也就是说圆 $C_1$ 关于 $P$ 点旋转(逆时针或顺时针)即得圆 $C_2$.

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