每日一题[2102]独立事件

一个正八面体,八个面分别标以数字 $1$ 到 $8$,任意抛掷一次这个正八面体,观察它与地面接触到的面上的数字,得到样本空间 $\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$.构造恰当的事件 $A,B,C$,使得\[P(ABC)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C),\]但不满足 $A,B,C$ 两两独立.

解析

令 $A=\{1,2,3,4\}$,$B=\{1,5,6,7\}$,$C=\{1,5,6,8\}$,那么有\[P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac 12,\]且\[ABC=\{1\}\implies P(ABC)=\dfrac 18,\]此时\[\begin{cases} P(AB)=\dfrac 18,\\ P(BC)=\dfrac 38,\\ P(CA)=\dfrac 18,\end{cases}\]因此 $A,B,C$ 两两均不独立.

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