每日一题[2103]平方数不定方程

求所有正整数对 $(m,n)$ 使得 $\dfrac{n^2+1}{2m}$ 和 $\sqrt{2^{n-1}+m+4}$ 均为整数.

答案    $(1,3),(61,11)$.

解析  由于 $2\mid n^2+1$,于是 $n$ 为奇数.当 $n=1$ 时,有 $\dfrac{n^2+1}{2m}=\dfrac 1m$,于是 $m=1$,此时 $\sqrt{2^{n-1}+m+4}=\sqrt 6$ 不是整数. 设 $n=2k+1$($k\in\mathbb N^{\ast}$),则\[\dfrac{n^2+1}{2m}=\dfrac{2k(k+1)+1}{m},\]于是 $m\leqslant 2k(k+1)+1$,此时有\[\sqrt{2^{n-1}+m+4}=\sqrt{2^{2k}+m+4}>2^k,\]且\[\sqrt{2^{2k}+m+4}\leqslant\sqrt{2^{2k}+2k(k+1)+5}<2^k+2,\]其中用到了 $2^{k+2}\geqslant 2k(k+1)+1$,这是容易证明的. 因此\[\sqrt{2^{2k}+m+4}=2^k+1\implies m=2^{k+1}-3,\]而 $m\leqslant 2k(k+1)+1$,于是\[2^{k+1}-3\leqslant 2k(k+1)+1,\]解得 $k=1,2,3,4,5$.因此可能的正整数对 $(m,n)=\left(2^{k+1}-3,2k+1\right)$($k=1,2,3,4,5$),经验证,只有 $(m,n)=(1,3),(61,11)$ 符合题意.

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每日一题[2103]平方数不定方程》有2条回应

  1. louxin2020说:

    计算有误,解析第三行等式右边分子少了个加1,最后(m,n)的顺序写反了,还有一组解为(m,n)=(61,11)

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