『3734224』在锐角 $\triangle ABC$ 中，$H$ 为垂心，$O$ 为外心．$CH$ 的垂直平分线分别与 $AC,BC$ 交于点 $X,Y$，直线 $XO,YO$ 分别与 $AB$ 交于点 $PQ$．若\[XP+YQ=AB+XY.\]则 $\angle OHC=$_______．
『3724465』已知非零实数 $a,b,c$ 满足\[(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=a^4,\]求 $\dfrac bc-\dfrac cb$ 的最大值与最小值，并指出取得最值时的 $|a|:|b|:|c|$．
『3293543』设 $p_1,p_2,\cdots,p_t$ 是小于 $2^{100}$ 的素数从小到大的排列，求证：\[\dfrac 1{p_1}+\dfrac 1{p_2}+\cdots+\dfrac 1{p_t}<10.\]
已知集合 $S_n=\{1,2,3,\cdots,n\}$，$A\subseteq S_n$，当 $x\in A$ 时，$x-1\notin A$ 且 $x+1\notin A$，则称 $x$ 为集合 $A$ 中的孤立元素．设集合 $M_{(n,m)}$ 为集合 $S_n$ 的一个 $m$ 元子集，且 $M_{(n,m)}$ 中的元素均为孤立元素．
1、写出所有符合条件的集合 $M_{(4,2)}$．
2、当 $m$ 取何值时，所有可能的集合 $M_{(n,m)}$ 的个数最多？说明理由．
3、设 $a\in S_{2m}$ 且 $a$ 在所有可能的集合 $M_{(2m,m)}$ 中出现的次数最少，求出 $a$ 的值及其出现的次数，并说明理由．
『3218769』已知正实数 $a,b,c,d$ 满足\[ab+bc+cd+da+ac+bd=6,\]求证：\[a+b+c+d\geqslant 2\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2)abcd},\]并指出等号取得的条件．
已知 $\left(\dfrac{12}{11}\right)^{10}\approx 2.3872$，求证：当 $n\geqslant 11$ 时，有\[\left(1+\dfrac 1n\right)^n<3\left(1-\dfrac 1n\right).\]
设集合 $A=\{1,2,3,\cdots,2045\}$，如果 $A$ 的子集 $S$ 的任何一个元素都不是另一个元素的三倍，就称集合 $S$ 是三倍自由的．三倍自由集合 $S$ 中元素个数最多的集合个数为 $n$，且 $n$ 可以表示为 $p^aq^b$ 的形式，其中 $p,q$ 为质数，$a,b$ 为正整数．若 $N=p^2+q^2+a^2+b^2$，则 $N$ 的末三位数是_______．
如图，矩形 $ABCD$ 中，$AB=3$，$BC=4$，以 $BD$ 所在的直线为轴将此矩形旋转一周，则所得旋转体的表面积为_______，体积为_______．
当函数 $f(x)=\dfrac{ax^3-x^2+4a}{{\rm e}^x-1}$ 的图象经过的象限个数最多时，实数 $a$ 的取值范围_______．
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右顶点分别为 $A_1(-2,0)$，$A_2(2,0)$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，点 $M$ 在 $x$ 轴上，直线 $l$ 经过点 $M$ 交椭圆 $C$ 于 $A,B$ 两点（异于 $A_1,A_2$ 两点）．
1、求椭圆 $C$ 的标准方程．
2、 若 $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$，$O$ 为坐标原点，当 $\triangle AOB$ 的面积取最大值时，求 $|AB|$ 的值．
