设函数 $f(x)=x\ln x$．
1、设 $g(x)=\dfrac{f^{\prime}(x)}{x}$，求 $g(x)$ 的极值点．
2、若 $x_2>x_1>0$ 时，总有 $\dfrac{m}{2}\left(x_2^2-x_1^2\right)>f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．
已知双曲线 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>0$，$b>0$）的焦点为 $F_{1}, F_{2}$，$P$ 是双曲线上一点，且 $\angle F_{1} P F_{2}=\dfrac{\pi}{3}$．若 $\triangle F_{1} P F_{2}$ 的外接圆和内切圆的半径分别为 $R, r$，且 $ R=4 r$，则双曲线的离心率 $e$ 为_______．
已知实数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=1$，$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$，则 $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ 的最小值是（ ）
A．$\dfrac{1}{3}$
B．$\dfrac{5}{9}$
C．$\dfrac{7}{9}$
D．$1$
在棱长为 $4 \sqrt{2}$ 的正四面体 $A-B C D$ 中，点 $E, F$ 分别为直线 $A B, C D$ 上的动点，点 $P$ 为 $E F$ 中点，$Q$ 为正四面体中心（满足 $QA=QB=QC=QD$），若 $PQ=\sqrt 2$，则 $EF$ 的长度为（ ）
A．$2 \sqrt{6}$
B．$\sqrt{6}$
C．$3$
D．$2$
已知函数 $f(x)=\begin{cases} \cos\dfrac{\pi x}2-1,&x\geqslant 0,\\ -{\log_a}(-x),&x<0,\end{cases}$（$a>0$ 且 $a \neq 1$），使得函数图象上关于原点对称的点至少有 $3$ 对的充分条件是（ ）
A．$a\in\left(0, \dfrac{\sqrt{6}}{6}\right)$
B．$a\in\left(\dfrac{\sqrt{6}}{6}, 1\right)$
C．$a\in\left(0, \dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)$
D．$a\in\left(\dfrac{\sqrt{5}}{5}, 1\right)$
已知椭圆 $C: \dfrac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ 的右焦点为 $F$，原点为 $O,$ 椭圆的动弦 $A B$ 过焦点 $F$ 且不垂直于坐标轴，弦 $A B$ 的中点为 $N$，椭圆 $C$ 在点 $A, B$ 处的两切线的交点为 $M$．
1、求证：$O, M, N$ 三点共线．
2、求 $\dfrac{|A B| \cdot|F M|}{|F N|}$ 的最小值．
已知 $|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|=2$，则 $3|\boldsymbol a+\boldsymbol b|+2|\boldsymbol a -\boldsymbol b|$ 的最大值是_______；最小值是_______．
已知在 $\triangle ABC$ 中，$\dfrac{\cos A}{\sin B}+2\dfrac{\cos B}{\sin A}-3\dfrac{\cos C}{\sin A\sin B}=3$，则 $\sin C=$ _______．
某同学研究函数 $f(x)=\cos (\sin x)$ 时，因为该函数长相奇特，亲切的称之为套娃函数，且定义 $f(x)$ 为一次套娃函数，$f(f(x))$ 为二次套娃函数，$\underbrace{f(\cdots f(x))}_{n \text{ 个 }f}$ 为 $n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）次套娃函数，那么下列说法正确的是（ ）
A．对于一次套娃函数，当 $x=\dfrac{\pi}2+k\pi$（$k\in\mathbb Z$）时取得最小值「
B．对于 $n$ 次套娃函数，其一定存在最大值
C．对于 $n$ 次套娃函数，其最小正周期一定为 $\pi$
D．对于 $m+1$（$m\in \mathbb N^{\ast}$）次套娃函数，该函数的值域必然为 $m$ 次套娃函数的真子集
已知实数 $a,b,c$ 均不等于 $0$，且 $a+b+c=m$，$a^2+b^2+c^2=\dfrac{m^2}2$，求 $\dfrac{a(m-2a)^2+b(m-2b)^2+c(m-2c)^2}{abc}$ 的值．
