已知 $A,B,C,D$ 是双曲线 $xy=k$ 上的四个点，$AD$ 交 $BC$ 于点 $P$，$BD$ 交 $AC$ 于点 $Q$，$CD$ 交 $AB$ 于点 $R$，$O$ 为坐标原点，求证：$O,P,Q,R$ 四点共圆．
已知 ${\rm e}$ 是自然对数的底数，函数 $f(x)={\rm e}^x+\sin x-2x$ 的导函数为 $g(x)$．
1、求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程．
2、若对任意 $x\in\left[-\dfrac{\pi}3,0\right]$，都有 $x\cdot g(x)\geqslant x^2+m$，求实数 $m$ 的取值范围．
用 $1,2,3,4,5$ 共 $5$ 个数字组成一个两位数和一个三位数（每个数字恰好使用一次），使这两个数的乘积最大，那么这两个数各是多少？
有两道成直角的墙，在这个角落围上篱笆，使篱笆的两条边与两道墙构成四边形，篱笆长度是 $60$ 米，请问四边形的面积最大是多少？
已知 $\triangle ABC$ 内接于圆 $O$，$H$ 是垂心，$P$ 是圆 $O$ 上一点，$D,E,F$ 分别在 $BC,CA,AB$ 上，且满足 $HD\parallel AP$，$HE\parallel BP$，$HF\parallel CP$，$M$ 是 $HP$ 的中点，求证：$D,E,F,M$ 四点共线．
已知$\triangle ABC$ 内接于圆 $O$，$CD$ 为圆 $O$ 的切线，连接 $AD,BD,AD$ 交圆 $O$ 于点 $G$，$BD$ 分别交圆 $O$，$AC$ 于点 $E,H$，满足 $AB\cdot DH=AD\cdot BH$．连接 $CG,AE$ 并延长交 $CD$ 于点 $F$，若 $\cos\angle BAD=\dfrac{24}{25}$，$\tan\angle ACB=\dfrac{11}2$，$AG=\dfrac{11\sqrt 5}3$，求 $\triangle DEF$ 的面积．
2021年6月30日，by xixiggg：
设 $P$ 关于 $\odot O$ 对径点为 $Q$，$QH,CH$ 与 $\odot O$ 另一交点分别为 $R,K$．
熟知 $H,K$ 关于 $AB$ 对称，又\[\angle KHF=\angle KCP=\angle KRP=\angle KRH-90^{\circ}.\]由上述两条件可知 $F$ 即为 $\triangle HRK$ 外心．（设 $F'$ 为 $\triangle HRK$ 外心，则有 $F'$ 在 $HK$ 中垂线上且 $\angle F'HK=\angle HRK-90^{\circ}$，于是 $F\equiv F'$．）因此，$F$ 在 $HR$ 中垂线上．同理，$D$，$E$ 也在 $HR$ 中垂线上．又注意到 $M$ 为直角 $\triangle HRP$ 的外心，所以 $M$ 在 $HR$ 中垂线上．因此 $D,E,F,M$ 四点共线．
假设 $a$ 和 $b$ 为两个正整数，且 $a>b$，证明：辗转相除法的长度\[n\leqslant {\log_{\alpha}}b+1,\]其中 $\alpha=\dfrac{1+\sqrt 5}2$．
已知$\triangle ABC$ 中，$AD,BF,CE$ 相交于点 $G$，$AB=CG$，$\angle AEC=60^\circ$，$\angle CAD=30^\circ$，$BG=3\sqrt 7$，则 $EG=$_______．
已知整数 $n\geqslant 2$，集合 $\{1,2,3,\cdots,2n\}$ 的一个排列 $x_1,x_2,\cdots,x_{2n}$ 中，如果 $|x_i-x_{i+n}|=n$ 对于某个 $i$ 成立，则称这一个排列具有性质 $P$．
1、计算具有性质 $P$ 的排列总数．
2、证明具有性质 $P$ 的排列个数比不具有性质 $P$ 的排列个数多．（可以给出更精确的估计）
