每日一题[2257]中垂面

在棱长为 $4 \sqrt{2}$ 的正四面体 $A-B C D$ 中,点 $E, F$ 分别为直线 $A B, C D$ 上的动点,点 $P$ 为 $E F$ 中点,$Q$ 为正四面体中心(满足 $QA=QB=QC=QD$),若 $PQ=\sqrt 2$,则 $EF$ 的长度为(       )

A.$2 \sqrt{6}$

B.$\sqrt{6}$

C.$3$

D.$2$

答案    A.

解析    根据题意,设 $AC,AD,BD,BC$ 的中点分别为 $G,H,I,J$,则点 $P$ 的轨迹是正方形 $GHIJ$ 所在的平面,且 $Q$ 为正方形 $GHIJ$ 的中心.

注意到正方形 $GHIJ$ 的边长为 $2\sqrt 2$,而 $PQ=\sqrt 2$,于是 $P$ 点位于正方形 $GHIJ$ 四边的中点处,不妨设 $P$ 点位于 $GH$ 的中点处,则此时 $F$ 为 $CD$ 中点,$E=A$,$EF=2\sqrt 6$.

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