每日一题[2258]韦达定理

已知实数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=1$,$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$,则 $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ 的最小值是(       )

A.$\dfrac{1}{3}$

B.$\dfrac{5}{9}$

C.$\dfrac{7}{9}$

D.$1$

答案    B.

解析    设 $a+b+c=p$,$ab+bc+ca=q$,$abc=r$,$a^3+b^3+c^3=m$,则\[\begin{cases} a+b+c=p=1,\\ a^2+b^2+c^2=p^2-2q=1,\\ a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r,\end{cases}\implies \begin{cases} p=1,\\ q=0,\\ r=\dfrac{m-1}3,\end{cases}\]因此 $x=a,b,c$ 是关于 $x$ 的方程\[x^3-x^2-\dfrac{m-1}3=0\]的三个实根.该方程即\[\dfrac{2(1-m)}3=x\cdot x\cdot (2-2x),\]从而\[0\leqslant \dfrac{2(1-m)}3\leqslant \dfrac 8{27}\iff \dfrac 59\leqslant m\leqslant 1,\]等号当 $a=b=\dfrac 23$,$c=-\dfrac 13$ 时取得,因此所求最小值为 $\dfrac 59$.

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