每日一题[2259]内外半径

已知双曲线 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$($a>0$,$b>0$)的焦点为 $F_{1}, F_{2}$,$P$ 是双曲线上一点,且 $\angle F_{1} P F_{2}=\dfrac{\pi}{3}$.若 $\triangle F_{1} P F_{2}$ 的外接圆和内切圆的半径分别为 $R, r$,且 $ R=4 r$,则双曲线的离心率 $e$ 为_______.

答案    $\dfrac{2\sqrt{21}}7$.

解析    设 $|PF_1|=m$,$|PF_2|=n$,$\angle F_1PF_2=\theta$,不妨设 $a=1$,则 $c=e$,$b=\sqrt{e^2-1}$,则根据双曲线的焦点三角形面积公式,有\[\dfrac Rr=\dfrac{\dfrac{|F_1F_2|}{2\sin\theta}}{\dfrac{2b^2\cot \dfrac{\theta}2}{|PF_1|+|PF_2|+|F_1F_2|}}=\dfrac{e(m+n+2e)}{3(e^2-1)},\]根据余弦定理,有\[|PF_1|^2+|PF_2|^2-2\cdot |PF_1|\cdot |PF_2|\cdot \cos\theta=|F_1F_2|^2,\]即\[m^2+n^2-mn=4e^2,\]也即\[\dfrac 14(m+n)^2+\dfrac 34(m-n)^2=4e^2,\]而 $|m-n|=2$,从而\[m+n=2\sqrt{4e^2-3},\]从而\[\dfrac{e(2\sqrt{4e^2-3}+2e)}{3(e^2-1)}=4,\]即\[(e^2-1)(7e^2-12)=0,\]解得 $e=\sqrt{\dfrac{12}7}$.

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