每日一题[2256]擦身而过

已知函数 $f(x)=\begin{cases} \cos\dfrac{\pi x}2-1,&x\geqslant 0,\\ -{\log_a}(-x),&x<0,\end{cases}$($a>0$ 且 $a \neq 1$),使得函数图象上关于原点对称的点至少有 $3$ 对的充分条件是(       )

A.$a\in\left(0, \dfrac{\sqrt{6}}{6}\right)$

B.$a\in\left(\dfrac{\sqrt{6}}{6}, 1\right)$

C.$a\in\left(0, \dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)$

D.$a\in\left(\dfrac{\sqrt{5}}{5}, 1\right)$

答案    A.

解析    根据题意,方程\[\cos\dfrac{\pi x}2-1={\log_a}x\]至少有 $3$ 个实根,如图.

当 $a=\dfrac{\sqrt 6}6$ 时,函数 $y={\log_a}x$ 的图象过点 $(6,-2)$;当 $a=\dfrac{\sqrt 5}5$ 时,函数 $y={\log_a}x$ 的图象过点 $(5,-2)$. 先证明当 $x\in\left(0,\dfrac{\sqrt 6}6\right)$ 时符合题意,设 $g(x)={\log_a}x+1-\cos\dfrac{\pi x}2$,则\[g(2)={\log_a}2+2>0,\quad g(4)={\log_a}4<0,\quad g(6)={\log_a}6+2>0,\quad g(8)={\log_a}8<0,\]因此 $g(x)$ 至少有三个零点,符合题意. 接下来证明当 $a=\dfrac{\sqrt 5}5$ 时不符合题意.在区间 $x\in [2,4]$ 上,函数 $g(x)$ 单调递减,因此只有一个零点,在区间 $[4,5]$ 上,有\[\cos\dfrac{\pi x}2-1\geqslant -1>{\log_a}x,\]在区间 $(5,+\infty)$ 上,有\[\cos\dfrac{\pi x}2-1\geqslant -2>{\log_a}x,\]因此函数 $g(x)$ 只有一个零点,不符合题意. 易得当 $a$ 在 $\dfrac{\sqrt 5}5$ 的左邻域时也不符合题意,因此只有选项 $\boxed{A}$ 正确.

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