Math173

已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数 $f(x)$ 满足 $f(2-x)=f(2+x)$，且当 $x \in[0,2]$ 时，有\[f(x)=\begin{cases} \mathrm{e}^{x}-1,&0 \leqslant x \leqslant 1, \\ x^{2}-4 x+4,&1<x \leqslant 2 .\end{cases}\]若关于 $x$ 的不等式 $m|x| \leqslant f(x)$ 的整数解有且仅有 $9$ 个，则实数 $m$ 的取值范围为（       ）

A．$\left(\dfrac{\mathrm{e}-1}{7}, \dfrac{\mathrm{e}-1}{5}\right]$

B．$\left[\dfrac{\mathrm{e}-1}{7}, \dfrac{\mathrm{e}-1}{5}\right]$

C．$\left(\dfrac{\mathrm{e}-1}{9}, \dfrac{\mathrm{e}-1}{7}\right]$

D．$\left[\dfrac{\mathrm{e}-1}{9}, \dfrac{\mathrm{e}-1}{7}\right]$

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已知函数 $f(x)=\ln \dfrac{\mathrm{e} x}{2}-a x$，$g(x)=\dfrac{x-4 a}{x}$．

1、求函数 $f(x)$ 的极值点．

2、当 $a>0$ 时，函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 恰有三个不同的零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-\dfrac{1}{3} a x^{3}$（$a \in \mathbb{R}$），若函数 $f(x)$ 存在唯一的极小值点，则实数 $a$ 的取值范围是_______．

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在如图所示的五面体中，四边形 $A B C D$ 是正方形，平面 $A D E \perp$ 平面 $A B C D$，$A B=E D=2 E F=2$，$\angle E A D=60^{\circ}$，$M$ 为棱 $F C$ 的中点．

1、证明：$A F\parallel M B D$．

2、求三棱锥 $E-F D B$ 的体积．

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已知 $A, B$ 为双曲线 $x^{2}-y^{2}=4$ 上两个不同的点，线段 $A B$ 的中点为 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$，$ O$ 为坐标原 点，则下列判断正确的是（       ）

A．若 $x_{0}=1$，则 $\left|y_{0}\right|>1$

B．若 $y_{0}=0$，则 $x_{0}=0$

C．若 $\angle A O B>\dfrac{\pi}{2}$，则 $\left|x_{0}\right|<2$

D．若 $\angle A O B<\dfrac{\pi}{2}$，则 $\left|x_{0}\right|>2$

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如图，在 $\triangle A B C$ 中，已知 $A B=2$，$A C=5$，$\cos \angle B A C=\dfrac{7}{20}$，$B C, A C$ 边上的两条中线 $A M, B N$ 相交于点 $P$，则 $\angle M P N$ 的余弦值为_______．

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已知双曲线 $C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>0$，$b>0$），若双曲线不存在以点 $M(2 a, a)$ 为中点的弦，则双曲线离心率 $e$ 的取值范围是（        ）

A．$\left(1, \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}\right]$

B．$\left[\dfrac{\sqrt{5}}{2}, \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}\right]$

C．$\left[\dfrac{2 \sqrt{3}}{3},+\infty\right)$

D．$\left[\dfrac{\sqrt{5}}{2},+\infty\right)$

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中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山，某家庭一家三口计划在假期出游，每人选一个地方，恰有 $1$ 人选泰山的概率为（       ）

A．$\dfrac{48}{125}$

B．$\dfrac{36}{125}$

C．$\dfrac{2}{5}$

D．$\dfrac{3}{10}$

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已知 $a>0$ 且 $a \neq 1$，函数 $f(x)=x^{a}-a^{x}$（$x>0$）．

1、当 $a=2$ 时，设 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$，求 $f^{\prime}(x)$ 的单调区间．

2、若函数 $y=f(x)$ 佮有两个互异的零点 $m, n$（$m>n>0$）．

① 求实数 $a$ 的取值范围；

② 求证：$m n>{\rm e}^{2}$．

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已知动点 $P(x, y)$ 到点 $F(1,0)$ 与到直线 $x=-1$ 的距离相等．

1、求点 $P$ 的轨迹 $L$ 的方程．

2、设 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$（$y_{0} \geqslant 0$）在曲线 $L$ 上，过 $M$ 作两条互相垂直的直线分别交曲线 $L$ 异于 $M$ 的两 点 $A, B$，且 $|M A|=|M B|$，记直线 $M A$ 的斜率为 $k$（$k>0$）．

① 试用 $k$ 的代数式表示 $y_{0}$；

② 求 $\triangle M A B$ 面积 $S$ 的最小值．

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