每日一题[2508]注意断点

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-\dfrac{1}{3} a x^{3}$($a \in \mathbb{R}$),若函数 $f(x)$ 存在唯一的极小值点,则实数 $a$ 的取值范围是_______.

答案    $\left(0,\dfrac{{\rm e}^2}4\right]$.

解析    根据题意,函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)={\rm e}^x-ax^2\]有唯一的负转正零点.设 $g(x)=\dfrac{{\rm e}^x}{x^2}-a$,则其导函数\[g'(x)=\dfrac{{\rm e}^x(x-2)}{x^3},\]从而有\[\begin{array}{c|cccccccc}\hline x&-\infty&(-\infty,0)&0-&0+&(0,2)&2&(2,+\infty)&+\infty \\ \hline g(x)&-a&\nearrow&+\infty&+\infty&\searrow&\dfrac{{\rm e}^2}4-a&\nearrow&+\infty \\ \hline \end{array}\]因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{{\rm e}^2}4\right]$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论