在如图所示的五面体中,四边形 $A B C D$ 是正方形,平面 $A D E \perp$ 平面 $A B C D$,$A B=E D=2 E F=2$,$\angle E A D=60^{\circ}$,$M$ 为棱 $F C$ 的中点.
1、证明:$A F\parallel M B D$.
2、求三棱锥 $E-F D B$ 的体积.
解析
1、连接 $AC$ 交 $BD$ 于 $O$,连接 $MO$ 如图.
根据题意,$M,O$ 分别为 $CF,CA$ 的中点,因此 $MO\parallel AF$,从而 $AF\parallel MBD$.
2、根据题意,所求三棱锥 $E-FDB$ 的体积\[[EF-BD]=\dfrac 16\cdot |EF|\cdot |BD|\cdot \sin\langle EF,BD\rangle \cdot d(EF,BD)=\dfrac 16\cdot 1\cdot 2\sqrt 2\cdot \dfrac{\sqrt 2}2\cdot \sqrt 3=\dfrac{\sqrt 3}3.\]