每日一题[2509]进阶放缩

已知函数 $f(x)=\ln \dfrac{\mathrm{e} x}{2}-a x$,$g(x)=\dfrac{x-4 a}{x}$.

1、求函数 $f(x)$ 的极值点.

2、当 $a>0$ 时,函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 恰有三个不同的零点,求实数 $a$ 的取值范围.

解析

1、根据题意,函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{1-ax}x,\]因此当 $a\leqslant 0$ 时,没有极值点;当 $a>0$ 时,有极大值点 $x=\dfrac 1a$.

2、根据题意,有\[h(x)=\ln\dfrac{x}2-a\left(x-\dfrac 4x\right),\]因此问题即函数\[r(x)=\ln x-2a\left(x-\dfrac 1x\right)\]有 $3$ 个零点.注意到 $r(1)=0$,函数 $r(x)$ 的导函数\[r'(x)=\dfrac 1x-2a\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)=\dfrac{-2a(x-1)^2+1-4a}{x^2},\]因此当 $a\geqslant \dfrac 14$ 时,$r(x)$ 为单调递减函数,不可能有 $3$ 个零点. 当 $a\in\left(0,\dfrac 14\right)$ 时,$r'(x)$ 在 $x=1$ 左右两侧各有一个零点,记为 $x_1,x_2$ 且 $0<x_1<1<x_2$. 一方面,有\[r(x)=\ln x-2ax+\dfrac{2a}x>\ln x-\dfrac 12+\dfrac{2a}x>2\left(1-\dfrac{1}{\sqrt x}\right)-\dfrac 12+\dfrac{2a}x>\dfrac{2}{\sqrt x}\cdot \left(-1+\dfrac{a}{\sqrt x}\right),\]因此取 $x_3=\min\left\{a^2,\dfrac{x_1}2\right\}$ 即得到 $x=x_1$ 左侧的 $x_3$ 处满足 $f(x_3)>0$. 另一方面,有\[r(x)=\ln x-2ax+\dfrac{2a}{x}<2\left(\sqrt x-1\right)-2ax+\dfrac{1}{2x}=2\sqrt x\left(1-a\sqrt x\right)+\left(\dfrac 1{2x}-2\right),\]因此取 $x_4=\max\left\{\dfrac1{a^2},\dfrac 14,2x_2\right\}$ 即得到 $x=x_2$ 右侧的 $x_4$ 处满足 $f(x_4)<0$. 这样就有\[\begin{array}{c|ccccccccc}\hline x&0+&(0,x_1)&x_1&(x_1,1)&1&(1,x_2)&x_2&(x_2,+\infty)&+\infty\\ \hline r(x)&+\infty&\searrow&\text{极小值}&\nearrow&0&\nearrow&\text{极 大值}&\searrow&-\infty\\ \hline \end{array}\]因此 $r(x)$ 有 $3$ 个不同的零点,符合题意. 综上所述,实数 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 14\right)$.

备注    本质即对数函数 $y=\ln x$ 的双曲线拟合 $y=\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right)$,如图.

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