Math173

关于函数 $f(x)=\dfrac{2\left(x^{3}-x\right)}{\mathrm{e}^{|x|}+x^{2}}$（$-10 \leqslant x \leqslant 10$），正确的描述有（       ）

A．是奇函数

B．是偶函数

C．有 $2$ 个极大值点

D．有 $3$ 个零点

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已知圆 $C: x^{2}+y^{2}-8 x-4 y+19=0$，直线 $l: 3 x-2 y-6=0$，直线 $l$ 交圆 $C$ 于 $A, B$ 两点，设点 $P(2,0)$，则 $|P A| \cdot|P B|=$ （       ）

A．$\sqrt{3}$

B．$\sqrt{5}$

C．$5$

D．$7$

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已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$2 a_{7}+3 a_{2}=10$，则 $S_{7}=$ （       ）

A．$14$

B．$15$

C．$16$

D．$17$

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已知函数 $f(x)=2|x+1|-|x-2|$．

1、求不等式 $f(x) \leqslant 0$ 的解集．

2、设 $g(x)=|3 x-a|$，若对于任意 $x \in \mathbb{R}$，都有 $g(x) \geqslant f(x)$，求 $a$ 的取值范围．

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已知抛物线 $\Gamma: x^{2}=2 p y$（$p>0$）和点 $N(0,-1)$，且点 $M\left(2, y_{M}\right)$ 和线段 $M N$ 的中点均在抛物线 $\Gamma$ 上．

1、求 $p$ 的值．

2、设点 $P, Q$ 在抛物线 $\Gamma$ 上，点 $R$ 在曲线 $\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$（$y<0$）上，若线段 $P R, Q R$ 的中点均在抛物线 $\Gamma$ 上，求 $\triangle P Q R$ 面积 $S$ 的最大值．

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已知向量 $\boldsymbol{a}=(1, \sqrt{3})$，$\boldsymbol{b}=(3, m)$．若向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\dfrac{\pi}{6}$，则实数 $m=$（       ）

A．$2 \sqrt{3}$

B．$\sqrt{3}$

C．$0$

D．$-\sqrt{3}$

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已知点 $A, B$ 在双曲线 $x^{2}-y^{2}=4$ 上，线段 $A B$ 的中点为 $M(3,1)$，则 $|A B|=$ （       ）

A．$\sqrt{2}$

B．$2 \sqrt{2}$

C．$\sqrt{5}$

D．$2 \sqrt{5}$

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已知 $x, y$ 满足 $x^{2}+y^{2}=4 y-3$，则 $\dfrac{\sqrt{3} x+y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ 的最大值为（       ）

A．$1$

B．$2$

C．$\sqrt{3}$

D．$\sqrt{5}$

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有一个国度规定一对夫妻必须有且只能有一个男孩，也就是说，如果第一个孩子是男孩，那么不允许再生；如果第一个孩子是女孩，就可以再生第二个孩子，以此递推．随机进入一个家庭采访第一个遇到的孩子，这个孩子是男孩的概率是_______．

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已知椭圆 $E: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）过点 $A(0,-2)$，且椭圆四个顶点围成的四边形的面积为 $4 \sqrt{5}$．

1、求椭圆 $E$ 的标准方程．

2、设过点 $P(0,-3)$ 的直线 $l$ 的斜率为 $k$，交椭圆 $E$ 于不同的两点 $B, C$，直线 $A B, A C$ 分别 交直线 $y=-3$ 于点 $M, N$．若 $|P M|+|P N| \leqslant 15$，求实数 $k$ 的取值范围．

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