每日一题[2510]整点个数

已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数 $f(x)$ 满足 $f(2-x)=f(2+x)$,且当 $x \in[0,2]$ 时,有\[f(x)=\begin{cases} \mathrm{e}^{x}-1,&0 \leqslant x \leqslant 1, \\ x^{2}-4 x+4,&1<x \leqslant 2 .\end{cases}\]若关于 $x$ 的不等式 $m|x| \leqslant f(x)$ 的整数解有且仅有 $9$ 个,则实数 $m$ 的取值范围为(       )

A.$\left(\dfrac{\mathrm{e}-1}{7}, \dfrac{\mathrm{e}-1}{5}\right]$

B.$\left[\dfrac{\mathrm{e}-1}{7}, \dfrac{\mathrm{e}-1}{5}\right]$

C.$\left(\dfrac{\mathrm{e}-1}{9}, \dfrac{\mathrm{e}-1}{7}\right]$

D.$\left[\dfrac{\mathrm{e}-1}{9}, \dfrac{\mathrm{e}-1}{7}\right]$

答案    C.

解析    根据题意,函数 $f(x)$ 关于 $y$ 轴和 $x=2$ 对称,因此函数 $f(x)$ 以 $4$ 为周期,如图.

注意到 $y=m|x|$,$y=f(x)$ 都是偶函数,且都过原点,因此题意即 $y=f(x)$ 的图象在直线 $y=mx$ 的图象上方的部分对应的横坐标中包含 $4$ 个正整数.进而可得实数 $m$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\mathrm{e}-1}{9}, \dfrac{\mathrm{e}-1}{7}\right]$.

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