Math173

如图，求阴影部分的面积．

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如图，在矩形 $ABCD$ 中，$E,F$ 分别在边 $AB,BC$ 上，等腰三角形 $DEF$ 的底边 $DE$ 上的高为 $FG$ 且 $DE=FG$．若 $\triangle ADE$ 和 $\triangle CDF$ 的面积均为 $20$，则 $\triangle BEF$ 的面积为_______．

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设 $a,b\in\mathbb R$，若 $x{\rm e}^x-\ln x\geqslant ax^2+b+1$ 对任意 $x>0$ 恒成立，则当 $ab$ 取得最大值时，$\dfrac 1a+2\ln b=$ _______．

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已知四边形 $ABCD$ 四边分别为 $a,b,c,d$，若 $a=3$，$b=4$，$d=10$，则 $c$ 的取值范围是_______．

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如图 $1$，在平面直角坐标系中，$AC=3$，过点 $A$ 作 $AB\perp x$ 轴于点 $B$，$AC\perp y$ 轴于点 $C$，连接 $BC$，$M$ 是 $OB$ 上一点，$\angle BCM=\angle BCA=30^\circ$．

1、求点 $A,M$ 的坐标．

2、如图 $2$，过 $M$ 作 $MN\parallel BC$，若 $BC$ 上有一动点 $E$，过点 $E$ 作 $EF\perp MN$，垂足为 $F$，连接 $AE,FC$，求 $AE+EF+FC$ 的最小值．

3、如图 $3$，将 $\triangle ABC$ 绕着点 $C$ 顺时针旋转，记旋转后的 $\triangle ABC$ 为 $\triangle A'B'C'$．当射线 $CA'$ 和 $CB'$ 都与 $x$ 轴相交时，设交点分别为 $G,H$．在整个旋转过程中，$\triangle GBC$ 能否为等腰三角形，若存在，请直接写出此时 $\dfrac{HG}{HC}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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如图，$\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$\angle BAC=\alpha$，点 $D$ 在 $\triangle ABC$ 内部，且使得 $\angle ABD=\angle BAD=\dfrac{\alpha}2-30^\circ$，则 $\angle ACD$ 的度数为_______．

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解实数方程：\[\sin ^7x+\dfrac1{\cos^3x}=\cos^7x+\dfrac1{\sin^3x}.\]

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已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $1$，圆 $O_1$ 是四边形 $ABCD$ 的内切圆，圆 $O$ 是四边形 $ABC_1D_1$ 的外接圆．设 $P,Q$ 分别为圆 $O_1$ 和圆 $O_2$ 上的动点，则线段 $PQ$ 的最小值为_______．

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古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 $ABC$ 的斜边 $BC$，直角边 $AB,AC$．若以 $AB,AC$ 为直径的两个半圆的弧长总长度为 $2\pi$，则以斜边 $BC$ 为直径的半圆面积的最小值为_______．

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