已知$a_1=1$，$b_1=-1$，$a_{n+1}=a_nb_{n+1}$，$b_{n+1}=\dfrac{b_n}{1-4a_n^2}$，求数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$的通项公式．
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每日一题[509]抛物线的几何平均性质
如图，过抛物线$y^2=4x$的焦点$F$作抛物线的两条弦$AB,CD$，设直线$AC$与$BD$的交点为$P$，直线$AC,BD$分别与$y$轴交于$M,N$．
（1）求证：$P$点恒在准线上；
（2）求证：四边形$PMFN$为平行四边形．
每日一题[508]双曲线的“垂径定理”
如图，双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)的右顶点为$A$，左右焦点分别为$F_1,F_2$，点$P$是双曲线右支上一点，$PF_1$交左支于点$Q$，交渐近线$y=\dfrac bax$于点$R$，$M$是$PQ$的中点，若$RF_2\perp PF_1$，且$AM\perp PF_1$，则双曲线的离心率为_______．
2016年上海卷数列大题（最后一题）
若无穷数列$\left\{a_n\right\} $满足：只要$a_p=a_q \left(p,q\in \mathbf{N}^{*} \right) $，必有$a_{p+1}=a_{q+1}$，则称$\left\{a_n\right\} $具有性质$\mathbf{P}$.
(1) 若$ \left\{a_n\right\} $具有性质$\mathbf{P}$，且$a_1=1,\ a_2=2,\ a_4=3,\ a_5=2,\ a_6+a_7+a_8=21$，求$a_3$；
(2) 若无穷数列$\left\{b_n\right\} $是等差数列，无穷数列$\left\{c_n\right\} $是公比为正数的等比数列，$b_1=c_5=1,\ b_5=c_1=81,\ a_n=b_n+c_n$，判断$\left\{a_n\right\} $是否具有性质$\mathbf{P}$，并说明理由；
(3) 设$\left\{b_n\right\} $是无穷数列，已知$a_{n+1}=b_n+\sin{a_n}\left(n\in \mathbf{N}^{*} \right) $，求证：“对任意$a_1$，$\left\{a_n\right\} $都具有性质$\mathbf{P}$”的充要条件为“$\left\{b_n\right\} $是常数列”．
2016年上海卷理科数学解析几何大题
双曲线$x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1(b>0) $的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，直线$l$过$F_2$且与双曲线交于$A,B$两点．
(1) 若$l$的倾斜角为$\dfrac{\pi}{2} $，$\triangle{F_1AB}$是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
(2) 设$b=\sqrt{3} $，若$l$的斜率存在，且$\left(\overrightarrow{F_1A}+\overrightarrow{F_1B} \right)\cdot\overrightarrow{AB}=0 $，求$l$的斜率．
2016年上海卷理科数学第18题（选择最后一题）
设$f(x),g(x),h(x)$是定义域为$\mathcal{R} $的三个函数，对于命题：
① 若$f(x)+g(x),f(x)+h(x),g(x)+h(x)$均为增函数，则$f(x),g(x),h(x)$中至少有一个为增函数；
② 若$f(x)+g(x),f(x)+h(x),g(x)+h(x)$均是以$T$为周期的函数，则$f(x),g(x),h(x)$均是以$T$为周期的函数，
下列判断正确的是（ ）
A．① 和 ② 均为真命题
B．① 和 ② 均为假命题
C．① 为真命题，② 为假命题
D．① 为假命题，② 为真命题
2016年上海卷理科数学第17题（选择倒数第二题）
已知无穷等比数列$\left\{a_n\right\} $的公比为$q$，前$n$项和为$S_n$，且$\lim\limits_{n\to\infty}S_n=S$．下列条件中，使得$2S_n<S \left(n\in \mathbf{N}^{*} \right) $恒成立的是（ ）
A.$a_1>0,0.6<q<0.7$
B.$a_1<0,-0.7<q<-0.6$
C.$a_1>0,0.7<q<0.8$
D.$a_1<0,-0.8<q<-0.7$
2016年全国丙卷数学文理科压轴题
理科第12题（选择压轴题）：
定义“规范$01$数列”$\{a_n\}$如下：$\{a_n\}$共有$2m$项，其中$m$项为$0$，$m$项为$1$，且对任意$k\leqslant 2m$，$a_1,a_2,\cdots,a_k$中$0$的个数不少于$1$的个数．若$m=4$，则不同的“规范$01$数列”共有 （ ）
A．$18$个
B．$16$个
C．$14$个
D．$12$个 继续阅读